7. Рівняння Бернуллі.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

, (7.1)

де і неперервні функції ( , ) , називається рівнянням Бернуллі.

Зведемо рівняння Бернуллі до лінійного. Поділимо обидві частини рівняння (7.1) на і добудемо

. (7.2)

Зробимо заміну шуканої функції , . Підставимо значення і

у рівняння (7.2) і добудемо наступне лінійне рівняння:

або .

Знаходимо загальний розв`язок останнього рівняння і підставимо замість вираз і добудемо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Зауваження. Тому що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння, його розв`язок можна шукати у вигляді , де будь-який ненульовий розв`язок рівняння

.

Приклад. Розв`язати рівняння , .

Шукаємо розв`язок рівняння у вигляді , .Підставивши у рівняння замість і їх значення, одержимо

або (7.3)

Для знаходження функції маємо рівняння

або .

звідки або .

Підставивши знайдене значення у рівняння (7.3), знаходимо

або .

Зінтегрувавши, знаходимо ,звідки .

Таким чином, загальний розв`язок рівняння

.

Знайдемо частинний розв`язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам :

, звідки .

Підставимо знайдене значення довільної сталої у загальний розв`язок і добудемо шуканий частинний розв`язок:

.

8. Рівняння у повних диференціалах.

Означення. Диференційне рівняння

(8.1)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо функції і неперервні у області , мають неперервні частинні похідні та і у кожній точці області

(8.2)

Інтегрування рівняння у повних диференціалах.

Доведемо, що ліва частина (8.1), якщо виконані умови (8.2), є повним диференціалом деякої функції і навпаки, якщо виконані умови (8.2), то ліва частина (8.1) є повним диференціалом деякої функції , тобто рівняння (8.1) має вигляд , і тому його загальний інтеграл є .

Справді, нехай ліва частина (8.1) є повний диференціал деякої функції , тобто

;

тоді

, (8.3)

маємо , .

Тому що за умовами та неперервні, то мішані похідні неперервні і є рівними, тобто

і рівняння (8.1) є рівнянням у повних диференціалах.

Доведемо, що з умови (8.2) випливає, що ліва частина (8.1) є повним диференціалом деякої функції . Нехай - деяка точка області . Зінтегрувавши співвідношення

за і вважаючи, що стале, добудемо

, (8.4)

де - довільна функція, яка залежить лише від . Покажемо, що функцію можна знайти так, щоб виконувалось друге з співвідношень (8.3).

Диференціюємо (8.4) за :

.

Змінити порядок інтегрування і диференціювання можна за теоремою Лейбніца. Врахуємо, що та , добудемо

. (8.5)

Помітимо, що

. .

Підставимо значення інтеграла у (8.5), добуваємо диференціальне рівняння для знаходження функції :

або ,

звідки

, (8.6)

де - довільна стала.

Підставимо (8.6) у (8.4) і знайдемо функцію :

.

Якщо функцію прирівняти довільному сталому, то добудемо загальний інтеграл рівняння (8.1):

.

Приклад. Розв`язати рівняння

.

Перевіримо, що це рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Позначимо

, .

Маємо

, .

Якщо , то функції , , та неперервні і . Тому ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції :

Позначимо . Тоді і загальний інтеграл має вигляд