9. Истечение жидкости

Рассмотрим истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре. Отверстие называют малым, если его размер по высоте значительно меньше величины напора – не более 0,1 Н. Тонкой стенкой считают такую, что струя, вытекающая из отверстия преодолевает лишь местные сопротивления, что будет иметь место в том случае, если отверстие имеет заостренную кромку. При вытекании жидкости из открытого сосуда в атмосферу через отверстие площадью  (рис.9.11) струя постепенно сжимается. Ближайшее к отверстию наименьшее живое сечение С–С, в котором движение можно рассматривать плавноизменяющим-ся, называется сжатым сечением, обозначим его площадь _с.

О сновная формула расхода жидкости из отверстия при постоянном напоре

(9.1)

где - коэффициент расхода; - коэффициент скорости; ξ - коэффициент сопротивлений; - коэффициент сжатия; ω - площадь отверстия; ω_с - площадь струи в сжатом сечении; - напор с учетом скорости подхода жидкости к отверстию; α – коэффициент Кориолиса.

Ч

Рис.9.2

асто к отверстию в тонкой стенке присоединяют короткую трубу, называемую насадком. Длина насадка равна трем – пяти диаметрам отверстия. По форме насадок может быть внешним цилиндрическим (а), внутренним цилиндрическим (б), коническим сходящимся (в), коническим расходящимся (г) и коноидальным (д) (рис.9.2).

Для малых отверстий численные значения коэффициентов приведены в таблице 9.1.

В случае истечения из отверстий при переменном напоре основным дифференциальным уравнением является равенство

. (9.2)

Ниже приводятся случаи, для которых уравнение (9.2) интегрируется, в результате чего получаются простые расчетные формулы.

1. Истечение при переменном напоре при наличии постоянного притока Q₀. Время t изменения напора от H₁ до Н₂ в случае призматического резервуара (Ω = const) определяется формулой, причем формула справедлива как для случая повышения, так и для случая понижения горизонта в резервуаре, т.е. при Q₀>Q и Q₀<Q.

, (9.3)

где H₀ - напор при установившемся движении, когда расход из отверстия равняется притоку, т.е. . Остальные обозначения упомянуты выше.

Таблица 9.1

Вид отверстия	φ	ε	Μ	Примечание
Отверстие с острой кромкой	0,97	0,64	0,62	При полном совершенном сжатии
Внешний цилиндрический насадок	0,82	1,0	0,82	При длине насадка l = (3-4) d
Внутренний цилиндрический насадок	0,71	1,0	0,71	-
Конический сходящийся насадок	0,96	0,98	0,94	При θ = 13
Конический расходящийся насадок	0,45	1,0	0,45	При θ = 6 коэффициент μ отнесен к выходному отверстию
Коноидальный насадок	0,97	1,0	0,97	-

2. Истечение при переменном напоре при отсутствии притока (Q₀=0; H₀=0). Время t изменения напора от H₁ до H₂ определяется формулой

. (9.4)

Время наполнения или опорожнения резервуара при начальном напоре H₁ и конечном H ₂ будет равно

. (9.5)

3. Истечение при переменном напоре под переменный уровень. Время изменения напора от H₁ до H₂ при Ω₁=const и Ω₂ =const определяется формулой

. (9.6)

При одинаковых площадях резервуаров Ω₁=Ω₂ время изменения равно

. (9.7)

Пример 9.1.

Определить скорость и расход вытекания воды из малого круглого затопленного отверстия в тонкой стенке, диаметр отверстия d=0,25 м, перепад уровней жидкостей до отверстия и за ним z= 4 м.

Решение.

Скорость вытекания воды равна

,

где φ - коэффициент скорости, примем φ равное 0,97; тогда = 8,6 м/с.

Расход вытекания

,

где ω - площадь поперечного сечения отверстия, коэффициент расхода μ=0,62. Тогда

ω = π∙d²/4 = 3,14∙0,25² / 4 = 0,049 м²,

= 0,27 м³/с.

Для проверки правильности принятых значений φ = 0,97 и μ = 0,67 найдем число Рейнольдса (t = 20 °C).

= 2192795

т.е. число Re больше чем 100 000, и решение было принято правильное.

Пример 9.2.

Определить размеры отверстия, через которое вытекает мазут из бака расходом Q = 5∙10^-4 м³/с, если напор в баке поддерживается постоянным и равным H = 3 м.

Решение.

Площадь поперечного сечения отверстия определяется из формулы расхода и равна

,

где коэффициент расхода μ примем предварительно равным 0,62, тогда 1,26 ∙10^-4 м², откуда d = 0,013 м.

Находим число Рейнольдса, характеризующее истечение

= 1445

т.к. Re < 10⁵, то необходимо уточнить коэффициент расхода μ. По графику, приведенному на рис. при данном числе Рейнольдса μ = 0,67.

Уточненные площадь и диаметр соответственно равны

1,17 ∙10^-4 м², d = 0,012 м.

Пример 9.3.

Определить время полного опорожнения нефти из цистерны диаметром D = 3 м и длиной l = 15 м через отверстие с острыми краями диаметром 10 мм (коэффициент расхода μ = 0,67)

Решение. Время полного опорожнения цистерны определяется по формуле

,

где ω = π∙d²/4 = 3,14∙0,01² / 4 = 0,785∙10 ^-4 м².

с ≈ 5,2 сут.

Контрольные вопросы.

1. При выполнении какого условия отверстие называется малым?

2. Сравните гидравлические характеристики отверстий и насадков.

3. Какие допущения приняты при рассмотрении истечения жидкости при переменном напоре?