§ 2. Методичний аналіз теоретичного матеріалу теми «Числові послідовності» за підручником Алгебри ю. І. Мальований, г. М. Литвиненко, г. М. Возняк

Тема "Числові послідовності" - четверта та остання тема курсу алгебри 9-го класу, на вивчення якої відведено 12 годин. Тема має велике значення, оскільки числова послідовність є математичною модель реальних процесів. Ця тема має велике значення у курсі шкільного курсу алгебри, так як дає базові знання, що необхідні при подальшому вивченні алгебри у старших класах. Але разом з тим, тема не надто тісно пов’язана з уже пройденим матеріалом, що дає можливість учням з низьким рівнем знань легко оволодіти нею. Це одна з найцікавіших тем шкільного курсу математики так як містить чимало цікавих задач, що можуть з легкістю зацікавити учнів та заохотити їх до вивчання теми.

Дана тема за підручником має таку структуру:

Числові послідовність

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

Поняття числової послідовності.

Арифметична прогресія і формула її загального члена

Сума n перших членів арифметична прогресії

Означення і властивості геометричної прогресії

Сума n перших членів геометричної прогресії

Сума нескінченої геометричної прогресії, якщо

Вивчення даної теми спрямоване на набуття нових знань, умінь та навичок учнів. Вони повинні засвоїти зміст означень числової послідовності, арифметичної та геометричної прогресій; формул загального члена арифметичної та геометричної прогресій, суми перших п членів цих прогресій, суми нескінченної геометричної прогресії (| q |<1).

Вміння розпізнавати арифметичну, геометричну прогресії серед даних послідовностей; наводити приклади арифметичної, геометричної прогресій; формулювати означення і властивості арифметичної, геометричної прогресій; записувати і пояснювати формули загального члена арифметичної та геометричної прогресій, суми перших п членів цих прогресій, суми нескінченної геометричної прогресії (| q |<1).

Також важливою навичкою є уміння розв'язувати вправи, що передбачають обчислення: членів арифметичної, геометричної прогресій, завдання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями між ними, обчис­лення сум перших п членів цих прогресій, запис десяткового періодичного дробу у вигляді звичайного, використання формул загальних членів і сум прогресій для знаходження невідомих членів прогресій.

До базових знань необхідних для вивчення теми числова послідовність можна віднести поняття функції,аргументу; знаходження області визначення функції; знаходження значення функції за даними аргументу; способи задання функції; функціональних залежностей.

Що стосується методу введення понять, то доцільно буде використати конкретно-індуктивний, хоча він і вимагає більше часу. Для учнів з високим рівнем знань можна використати абстрактно-дедуктивний метод. Для вивчення означень краще використати роздільний метод, так як дані твердження не занадто важкі для сприймання.

Основними поняттями теми (за підручником алгебри 9 клас Ю. І. Мальований, Г. М. Литвиненко, Г. М. Возняк) [3] є:

1. Означення. Числова функція, областю визначення якої є множина натуральних чисел, називається числовою послідовністю.

2. Як задаються числові послідовності. Числову послідовність, як функцію, можна задати аналітичним, графічним та табличним способами ( останніми двома лише скінчену послідовність).

Формули, що визначає будь-який член послідовності, починаючи з деякого, через попередні члени, називається рекурентною.

3. Означення. Числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, до якого додається одне і те саме число, називається арифметичною прогресією.

Числова послідовність є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова .

З рівності випливає рівність ., яка означає, що різниця між будь-якими наступним і попереднім членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому самому числу, яке тому і називається різницею прогресії (d).

4. Формула загального члена арифметичної прогресії: .

5. Формула суми n перших членів арифметичної прогресії;

6. Означення. Числова послідовність, у якій перший член відмінний від нуля, а кожний наступний член дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме відмінне від нуля число, називається геометрична прогресія.

Числова послідовність b₁, b₂, b₃, ..., b_n, … є геометричною прогресією, якщо для всіх натуральних n виконується умова

b_n+1 = b_n× q, де q ¹ 0, b_n¹ 0.

З цієї рівності випливає, що .

Відношення будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, до попереднього члена дорівнює одному і тому самому числу q, яке називається знаменником геометричної прогресії.

7. Загальна формула геометричної прогресії : b_n = b₁× q^n-1

8. Формула суми n перших членів геометричної прогресії:

9. Формула суми нескінченої прогресії, якщо

Основними твердженнями теми є:

1. З означення арифметичної прогресії випливає:

і т.д.

Аналізуючи дані записи можемо отримати формулу загального члена арифметичної прогресії: .

2. Як рахував Гаусс.

Розповідаю, що незвичайні здібності німецького математика Карла Фрідріга Гаусса (1777 – 1855) почали виявлятися вже ранньому віці. Якось він здивував учителя, миттєво обчисливши суму перших ста натуральних чисел. Він, очевидно, помітив, що в послідовності 1; 2; 3; 4; … ; 97; 98; 99; 100 сума першого і останнього числа дорівнює 101 (1+100=101), другого і передостаннього теж дорівнює 101 (2+99=101), третього від початку та третього від кінця – теж дорівнює 101 (3+98=101) і т. д. Всього таких сум можна утворити 50 ( остання 50+51=101). Отже, сума перших ста натуральних чисел дорівнює 101 50 = 5050.

3. Властивість та її доведення арифметичної прогресії.

Послідовність перших ста натуральних чисел є скінченною арифметичною прогресією, перший і останній члени (або інакше, крайні члени) якої дорівнюють відповідно 1 і 100, а різниця d = 1. Вона має властивість, яку і помітив Гаусс:

сума будь-яких двох її членів, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів (у даному випадку 101)

Доведення

Нехай маємо скінченну арифметичну прогресію a₁ , a₂, a₃, …, a_n-2 , a_n-1 , a_n .

Запишемо у загальному вигляді два довільні члени прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, наприклад, стоять на на k-му місці від початку і від кінця.

На k-му місці від початку прогресії знаходиться член a_k . Тепер встановимо номер члена, який стоїть на k-мy місці від кінця прогресії.

Перед цим зауважимо, що сума номерів крайніх членів і членів, рівновіддалених від крайніх, на 1 більша від кількості n членів прогресії і дорівнює n + 1.

a₁ , a₂, a₃, …, a_n-2 , a_n-1 , a_n

Справді, сума:

номерів першого (a₁) і останнього (a_n) членів дорівнює 1 + n;

другого (а₂) і передостаннього (a_n-1) — 2 + n - 1 = n + 1;

третього (а₃) і третього від кінця (a_n-2) — 3 + n - 2 = n + 1 і т.д.

Отже, сума номерів членів прогресії, що стоять на k-му місці від початку і на k-му місці від кінця, теж має дорівнювати n + 1

Порядковий номер члена, що стоїть на k-му місці від початку, дорівнює k. Щоб знайти номер члена, що стоїть на k-му місці від кінця прогресії, треба від n + 1 відняти k:

n+1 - k = n-k+1.

4. Формула суми n перших членів арифметичної прогресії

Доведену властивість можна використати для встановлення формули обчислення суми n перших членів арифметичної прогресії.

Нехай треба знайти суму членів арифметичної прогресії:

a₁ , a₂, a₃, …, a_n-2 , a_n-1 , a_n .

Позначають таку суму зазвичай S_n.

Запишемо цю суму двома способами: у прямому і зворотному порядку розміщення доданків.

Маємо:

S_n = a₁ + a₂+ a₃+ …+ a_n-2 + a_n-1 + a_n .

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2+... + a₃ + a₂ + a₁,

Додамо почленно ці дві рівності.

Маємо:

2 S_n = (а₁ + а_n) + (a₂ + а_n-1) + (a₃ + a_n-2)+ ... +(a_n-2 + a₃)+ (а_n-1 + a₂ )+(а_n + а₁).

За доведеною властивістю кожна із сум у дужках дорівнює а₁ + а_n

Кількість таких сум дорівнює n.

Отже, 2S_n = (а₁ + а_n)n.

Звідси:

Враховуючи те, що а_n = а₁ +d(n - 1), формулу суми членів арифметичної прогресії можна записати і в такому вигляді:

Знайдемо суму членів a_k і а_n-k+1, скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії. Маємо:

a_k = a₁ + d(k - 1),

а_n-k+1 = а₁ + d(n - k + 1 - 1) = a₁ + d(n - k);

a_k + a_n-k+1 = a₁ + d(k- 1) + a₁ + d(n-k) =

= a₁ + a_l + d(k-1 + n-k) = a₁+ а₁+d(n-1) = a₁ + a_n. Доведено.

Встановимо формулу загального члена геометричної прогресії

b₁, b₂, b₃, ..., b_n, …

Згідно з означенням геометричної прогресії,

b₂ = b₁× q

b₃ = b₂× q

b₄ = b₃× q

……………….

b_n-1 = b_n-2× q

b_n = b_n-1× q

Помноживши почленно ці рівності, маємо:

b₂× b₃× ...× b_n-1× b_n= b₁× b₂ × b₃ × …× b_n-2 × b_n-1× q^n-1

Поділимо обидві частини одержаної рівності на підкреслений добуток. Отримаємо шукану формулу:

b_n = b₁× q^n-1

5. Властивості та їх доведення геометричної прогресії