Задача выпуклого программирования

Пусть исходная задача имеет вид:

(+.1)

(+.2)

Задача ((+.1-2) называется задачей выпуклого программирования, если выполняются следующие условия:

1. – выпуклая функция,

2. функции – выпуклая функция ,

3. область регулярная, то есть существует, по крайней мере, одна внутренняя точка

Введем обозначение - множество точек , которые удовлетворяют соотношениям (+.2), т.е.

(+.3)

С учетом введенного обозначения, исходную задачу можно записать в виде

(+.4)

Заметим, что область допустимых решений выпуклая

Введем градиент целевой функции

(+.5)

другая запись градиента

.

(+.6)

Для каждой функции ограничения g также существует градиент

(+.7)

другая запись градиента

Для задачи нелинейного программирования можно ввести функцию Лагранжа и записать ее:

(+.8)

Теорема Куна-Такера точка является оптимальным решением задачи выпуклого программирования тогда и только тогда, когда существует вектор такой, что для функции Лагранжа выполняются условия:

(+.9)

(+.10)

(+.11)

(+.12)

(+.13)

(+.14)

• Условие (+.9) называется условием допустимости.

• Условие (+.10) называется условием неотрицательности.

• Условие (+.11) называется условием нетривиальности.

• Условие (+.12) называется условием разложимости.

• Условие (+.13) называется условием дополняющей нежесткости.

Условия (+.9)- (+.13) называются условиями Куна – Таккера. Точка в которой выполняются условия назовем точкой Куна – Таккера

Условие (+.14) носит название условие регулярности Слейтера. Оно означает, что существует точка , в которой выполняются все неравенства строго . Заметим, что эта точка , как правило, отличается от точки .

Ограничения-неравенства, обращающиеся в ноль в точке , называют активными в этой точке. Для множества номеров активных в точке неравенств, введем специальное обозначение

При практическом использовании условий Куна-Таккера большое значение имеют условия дополняющей нежесткости. Из (+.13) следует, что для неактивных в точке . Следовательно, неактивные ограничения не входят в условие разложимости (+.12) и не влияют на выполнение условий оптимальности. Фактически, в суммирование ведется только по номерам .

Условие разложимости с использованием векторных обозначений можно представить как условие стационарности функции Лагранжа (+.8).

(*)

В общем случае система уравнений и неравенств (+.9)- (+.13) слишком сложна для аналитического решения. Однако в задачах квадратичного программирования есть способы решения этой системы условий, сводящиеся к нахождению опорных решений систем линейных алгебраических уравнений.

Геометрический смысл условий:

Условие разложимости, то есть антиградиент функции в оптимальной точке является линейной комбинацией с положительными коэффициентами градиентов и активным ограничениям . Иными словами, антиградиент целевой функции лежит в геометрическом конусе градиентов ограничений. Это утверждение может быть проиллюстрировано в двумерном случае n=2.