5.4. Относительные показатели

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

5.5. Показатели формы распределения

В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными (унимодальными) распределениями. Многовершинность (мономодальность) свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин говорит о необходимости перегруппировки данных с целью выделения более однородных групп. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней, моды и медианы. На основании этого К. Пирсон предложил использовать показатель асимметрии, основанный на сопоставлении средней и модального значения.

Величина показателя асимметрии может быть как положительной, так и отрицательной. Если As > 0, то это означает, что большая часть совокупности сконцентрирована слева от средней (правосторонняя асимметрия). Если же As < 0, то это означает, что большая часть совокупности сконцентрирована справа от средней (левосторонняя асимметрия).

Наиболее точными распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка.

Для симметричных распределении рассчитывается показатель эксцесса (островершинности) распределения. Простая оценка эксцесса проводится через соотношение квантилей распределения , где D₁ и D₉ первый и девятый децили соответственно.

Наиболее точным является показатель, основанный на использовании центрального момента четвертого порядка.

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. В нормальном распределении значение Ex = 3. Поэтому в соответствии с соотношением значение показателя эксцесса может быть как положительным (островершинное распределение), так и отрицательным (плосковершинное распределение). Коэффициент эксцесса также является характеристикой вариации признака совокупности. Например, дисперсия островершинного распределения меньше, чем у плосковершинного.

Очевидно, что для несимметричных распределений любая оценка эксцесса будет заведомо ложной погрешность и даже не содержательной.

5.6. Моменты распределения

Моментом распределения называется средняя арифметическая тех или иных степеней отклонении индивидуальных значений признака от определенной исходной величины. Рассчитывается по формуле: , где А - величина, от которой определяются отклонения, а - степень отклонения (порядок момента).

В зависимости от того, что принимается за величину А, различают три вида моментов:

1. начальные моменты М_а получают при А = 0;

2. центральные моменты , получают при А = ;

3) условные моменты m_а получают при А, не равной средней арифметической и отличной от нуля.

В статистической практике пользуются моментами первого, второго, третьего и четвертого порядков. Начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую и используется как показатель центра распределения. Центральный момент первого порядка (в соответствии с нулевым свойством средней арифметической) всегда равен нулю. Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию и служит основной мерой колеблемости признака. Центральный момент третьего порядка равен нулю в симметричном распределении и используется для определения показателя асимметрии. Центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса.

Таблица 5.2. Показатели распределения

Показатели центра распределения
Среднее	688,667
Мода	578,000
Медиана	449,712
Показатели структуры распределения
Нижний квартиль	550,991
Верхний квартиль	1236,912
Показатели вариации
Дисперсия	52779,093
Среднее квадратическое отклонение	229,737
Среднее абсолютное отклонение	176,912
Относительные показатели
Коэффициент вариации	33%
Относительное линейное отклонение	26%
Коэффициент осцилляции	203%
Показатели формы распределения
Коэффициент асимметрии	1,485
Эксцесс	3,121
Моменты распределения
Третий центральный момент	18000945,138
Четвертый центральный момент	17051357559,474