2.3.4. Логарифмическое дифференцирование

Производная показательно-степенной функции

находится с помощью приёма логарифмического дифференцирования. Он состоит в следующем. Сначала надо прологарифмировать (по основанию е) обе части исходного равенства:

или ,

затем взять производные обеих частей полученного равенства, применяя формулы для производной сложной функции и для производной произведения:

Осталось выразить :

или

Замечание. При нахождении производной показательно-степенной функции

можно пользоваться полученной формулой, но обычно применяется сам приём логарифмического дифференцирования для конкретной функции.

Пример 2.10. Найти производную функции

Решение. Прологарифмируем данную функцию:

.

Найдём производные обеих частей полученного равенства:

Отсюда находим

Замечание. Приемом логарифмического дифференцирования удобно пользоваться при нахождении производной функции вида .

Пример 2.11. Найти производную функции

Решение. Прологарифмируем эту функцию:

2.3.5. Производная функции, заданной неявно

Функция при называется заданной неявно уравнением

если для всех справедливо тождество

.

Чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать правую и левую части уравнения , рассматривая его левую часть как сложную функцию от x .

Затем нужно решить полученное уравнение относительно .

Пример 2.12. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Найдём производные обеих частей равенства, задающего неявную функцию.

.

Отсюда находим

.

2.3.6. Производная функции, заданной параметрически

Если функция задана параметрически уравнениями , то её производная по x вычисляется по формуле:

.

Первая производная тоже выражается через параметр t. Если её обозначить через , то есть

,

то вторая производная (см. разд. 2.3.7) функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

или по формуле:

.

Пример 2.13. Найти производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически:

.

Решение. Найдём первую производную:

Найдем вторую производную:

2.3.7. Производные высших порядков

Производной второго порядка (второй производной) функции называется производная от её производной

.

Для второй производной используются также обозначения: .

Если – закон прямолинейного движения тела, то – ускорение этого движения.

Производная третьего порядка от функции определяется как производная от второй производной:

Производная n-го порядка ( или ) есть производная от производной -го порядка.

Производные высших порядков (вторая, третья и т.д. производные) вычисляются последовательным дифференцированием.

Пример 2.14. Найти производные вплоть до 7 порядка от функции

Решение.

§2.4. Задания к контрольной работе №2

Задание 2.1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

2.1.0.	а)	б)
	в)	г)
2.1.1.	а)	б)
	в)	г)
2.1.2.	а)	б)
	в)	г)
2.1.3.	а)	б)
	в)	г)
2.1.4.	а)	б)
	в)	г)
2.1.5.	а)	б)
	в)	г)
2.1.6.	а)	б)
	в)	г)
2.1.7	а)	б)
	в)	г)
2.1.8.	а)	б)
	в)	г) )
2.1.9.	а)	б)
	в)	г)

Задание 2.2. Функцию исследовать на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертеж.

2.2.0.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5
2.2.6.
2.2.7.
2.2.8.
2.2.9.

Задание 2.3. Найти производные данных функций.

2.3.0.	а) б) в)
2.3.1.	а) б) в)
2.3.2.	а) б) в)
2.3.3.	а) б) в)
2.3.4.	а) б) в)
2.3.5.	а) б) в)
2.3.6.	а) б) в)
2.3.7.	а) б) в)
2.3.8.	а) б) в)
2.3.9.	а) б) в)

Задание 2.4. Найти производные данных функций, используя прием логарифмического дифференцирования.

2.4.0.	а)	б)
2.4.1.	а)	б)
2.4.2.	а)	б)
2.4.3.	а)	б)
2.4.4.	а)	б)
2.4.5.	а)	б)
2.4.6.	а)	б)
2.4.7.	а)	б)
2.4.8.	а)	б)
2.4.9.	а)	б)

Задание 2.5. Найти производную функции, заданной неявно.

2.5.0.
2.5.1.
2.5.2.
2.5.3.
2.5.4.
2.5.5.
2.5.6.
2.5.7.
2.5.8.
2.5.9.

Задание 2.6. Найти все производные вплоть до пятого порядка от заданной функции.

2.6.0.
2.6.1.
2.6.2.
2.6.3.
2.6.4.
2.6.5.
2.6.6.
2.6.7.
2.6.8.
2.6.9.

Задание 2.7. Найти производные первого и второго порядков от функции, заданной параметрически.

2.7.0.
2.7.1.
2.7.2.
2.7.3.
2.7.4.
2.7.5.
2.7.6.
2.7.7.
2.7.8.
2.7.9.