4.4. Расчет радиальной средней квадратической погрешности обсерваций при избыточных измерениях

Вероятнейшие координаты судна – это координаты, найденныу по избыточным навигационным параметрам, обладающие минимальной (для данных результатов измерений) средней квадратической погрешностью.

При обсервациях по 3-4 – линиям положения, как правило, образуется фигура погрешностей, где количество точек пересечения S = (n² – n)/2.

Каждой точке пересечения линий положения дается вес

(49)

На рис. 11 показана фигура погрешностей при трех линиях положения (n = 3; S = 3).

На рисунке показано получение обсервованного места О центрографическим приемом.

(50)

и – поправки к счислимым координатам (к координатам расчетной точки), рассчитанные по i – й и j – й линиям положения, т.е. и – отстояния точки пересечения i – й и j – й линий положения по меридиану и параллели от счислимой (расчетной) точки.

Радиальную среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего места рассчитывают по формуле, основанной на выражении .

Если подставить в это выражение значения коэффициентов нормальных уравнений, то после подстановки и некоторых элементарных преобразований для n  5 (m₍₁₎ = 1) получим:

(51)

В этой формуле (под знаком радикала) в числителе сумма весов линий положения, в знаменателе – сумма весов точек пересечения.

При равноточных линиях положения справедливы равенства:

Поэтому

(52)

Эта формула может быть использована при определении места по высотам звезд (планет) и по расстояниям, измеренным с одинаковой точностью.

Для ориентировочных (предварительных) расчетов, точности обсерваций вычисления радиальной СКП места может производится по приближенной формуле. Для этого принимают:

_{i j} = _ср – среднее арифметическое значение, вычисленное по острым углам пересечения линий положения.

Тогда, учитывая, что S = n(n-1)/2 формулу (52) преобразуем в вид:

(53)

При трех линиях положения формула (53) приобретает вид:

(54)

Из анализа формулы (53) следует, что с увеличением числа взаимонезависимых линий положения (n) точность определения вероятнейшего места повышается. Например, если сравнить точности места, определенные по двум и по n линиям положения, то во втором варианте точность будет в раз выше.

В некоторых случаях возможен приближенный расчет РСКП места по трем линиям положения. Он заключается в том, что из трех линий положения выбирают две, угол между которыми близок к 80 – 110 и рассчитывает по известной формуле РСКП места для двух линий положения:

Затем используя величину рассчитывают .

4.5. Расчет радиальной средней квадратической погрешности вероятнейшего места при объединении счислимого и обсервованного мест.

Счислимое и обсервованное места осредняются при плавании в открытом море, когда их точность оценивается величинами, не отличающимися одна от другой более чем в три раза. При использовании высокоточных средств обсервации (СНС) осреднение нецелесообразно и вероятнейшее место принимают в точке, совпадающей с обсервованным местом.

Осреднение счислимого и обсервованного места возможно, если невязка С соответствует критерию:

(55)

В этом случае невязка обусловлена исключительно случайными причинами.

При круговых погрешностях вероятнейшее место находится на отрезке, соединяющем счислимое и обсервованное места, и является его центром тяжести. Поэтому удаление вероятнейшего места от счислимого – величину , рассчитывают по формуле:

(56)

где Р₀ и М₀ – вес и СКП обсервованного места;

Р_С и М_С – вес и СКП счислимого места

Вес вероятнейшего места Р_в равен сумме весов счислимого и обсервованного мест. Поэтому:

Решив это уравнение относительно СКП вероятнейшего места М_в получим:

(57)

Графическое осреднение производится следующим образом (рис. 12):

счислимое и обсервованное места соединяются прямой и через них под произвольным углом к этой прямой проводятся противоположно направленные параллельные линии. Затем в произвольном, но одинаковом масштабе, откладываются величины и соответственно. Вероятнейшее место В в точке пересечения невязки С0 и ав. Из подобия треугольников СаВ и 0вВ

Отсюда следует, что найденная точка В делит невязку на части, пропорциональные весам, т.е. является центром тяжести невязки. РСКП вероятнейшего места В можно так же получить графически не используя формулу (57), (рис. 13). Для этого под углом 90 проводят в произвольном масштабе и . В полученном треугольнике перпендикуляр из вершины прямого угла на гипотенузу равен РСКП вероятнейшего места.