4. Способы расчета эллиптической и радиальной погрешностей места судна при навигационных обсервациях по избыточным измерениям.

0. 4.1. Обработка измерений по способу наименьших квадратов.

Пусть измерено n независимых и в общем случае неравноточных навигационных параметров . Каждому i-ому параметру соответствует своя линия положения . Система, состоящая из n таких уравнений несовместна, так как в каждом из них содержится своя случайная погрешность. Несовместимость системы уравнений линий положения означает, что ни при каких значениях  и  не будут одновременно удовлетворяться все n уравнений, т.е. при любых  и  подставленных в уравнение линий положения, разности между их левыми и правыми частями будут равны не нулю, а каким-то случайным величинам _i:

; i = 1, n (25)

Для того, что бы отклонения _i уравнять по точности производится их нормирование путем деления каждой величины _i на соответствующую i-ю среднюю квадратическую погрешность:

или (26)

Так как Z_i различны (случайны) то система этих уравнений несовместима. Наиболее подходящими поправками  и  следует признать такие, которые обращают в минимум всю систему величин , т.е. при которых соблюдается условие:

(27)

Так как является весом i-ого навигационного параметра ( ), то . Поэтому условие (27) преобразуется к виду:

(28)

Это равенство выражает минимум суммы квадратов взвешенных отклонений. Нахождение искомых поправок  и  из условия (28) и составляет сущность метода наименьших квадратов. Для нахождения поправок  и  необходимо взять частные производные от функции F по искомым поправкам и приравнять их к нулю.

(29)

Уравнения (29) называются нормальными. Раскроем их, учитывая, что производная суммы равна сумме производных от слагаемых:

(30)

Принимая во внимание, что V_i определяется формулой (25) и что нормальные уравнения (30) приводятся к виду:

(31)

Множители при неизвестных  и  называют коэффициентами нормальных уравнений, а величины, стоящие в правой части – свободными членами нормальных уравнений. Для коэффициентов вводят следующие значения:

(32)

Свободные члены обозначаются так:

(33)

С учетом этих обозначений нормальные уравнения (31) примут вид:

(34)

Совместное решение нормальных уравнений дает значение искомых поправок:

(35)

где D – определитель системы ;

Определив поправки  и , рассчитывают координаты вероятнейшего места:

(36)

Известно, что корреляционная матрица погрешностей вероятнейших координат равна обратной матрице, составленной из коэффициентов нормальных уравнений.

(36)

(37)

где – корреляционный момент вероятнейших координат.

отсюда ; .

Также известно, что

(38)

Подставив значения погрешностей и корреляционного момента в уравнение (38) получим элементы среднего квадратического эллипса погрешностей:

(39)

 – угол между меридианом и малой полуосью эллипса. Если А₁ > В₂, то угол  определяет направление малой оси эллипса погрешности относительно меридиана. Если А₁ < В_2, то угол  определяет направление большой оси эллипса погрешностей.

Радиальная СКП места выражается через полуоси эллипса: М² = а² + в².

Подставив сюда значения из (39) получим:

(40)