§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей

3.2. Формула сложения вероятностей

Теорема 3.2. Вероятность появления в опыте хотя бы одного из событий A1,…,An выражаетсяформулой сложения вероятностей:

P(A1+...+An)=p1−p2+...+(−1)n−1pn=∑i=1n(−1)i−1pi,

где

p1=∑i=1nP(Ai),

p2=∑i=1n−1∑j=i+1nP(AiAj),...,pn=P(A1⋅...⋅An).

Данная формула доказывается по индукции на основе свойства 6)P, из которого следует формула сложения вероятностей для n=2. При n=3 эта формула принимает вид

P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1A2)−P(A2A3)−P(A1A3)+P(A1A2A3).

Если события A1,…,An попарно несовместны, то вероятность произведения любой комбинации из этих событий равняется нулю и формула сложения вероятностей принимает вид (см.свойство 8)P)

P(∑i=1nAi)=∑i=1nP(Ai).

Если события Ai в бесконечной последовательности A1,...,Ai,... попарно несовместны, то выполняется следующее равенство:

P(∑i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai).

Действительно, пусть A≜∑i=1nAi. Представим событие A в виде

A≜∑i=1nAi+Bn,

где Bn≜∑i=n+1∞Ai. Тогда

P(A)=∑i=1nP(Ai)+P(Bn).

Так как по построению B1⊃B2⊃...⊃Bn⊃... и ∏n=1∞Bn=∅, то по аксиоме A4 получаемP(Bn)→0 при n→∞. Откуда и вытекает требуемое равенство, которое называется свойством счетной аддитивности вероятности.

Можно доказать и обратное утверждение, что при выполнении этого свойства выполняются также аксиомы A3, A4.

Предположим, что события A1,…,An совместны и независимы (согласно примеру 3.3 такие события не могут быть попарно несовместными). Тогда

P(∑i=1nAi)=1−∏i=1nP(Ai¯¯¯¯).

Действительно, пусть n=2. Имеем P(A+B)=1−P(A¯¯¯⋅B¯¯¯) Так как A и B независимы, а значит A¯¯¯ и B¯¯¯ независимы также, то P(A+B)=1−P(A¯¯¯)⋅P(B¯¯¯). Общая формула доказывается по методу математической индукции.

§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей

3.3. Формула полной вероятности

Теорема 3.3. Пусть с опытом G связаны гипотезы H1,…,Hn . Тогда вероятность появления произвольного события A в опыте G выражается формулой полной вероятности :

P(A)=∑i=1nP(Hi)P(A|Hi),

где P(Hi) - вероятность гипотезы, P(A|Hi) - условная вероятность события А при условии, что справедлива гипотеза Hi,i=1,n¯¯¯¯¯.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Теорема доказывается следующим образом

P(A)=P(AΩ)=P(A(H1+...+Hn))=P(AH1+...+AHn)=P(AH1)+...P(AHn)==P(H1)P(A|H1)+...+P(Hn)P(A|Hn).

■

Замечание 3.1.

 Формула полной вероятности позволяет выразить вероятность сложного события A через вероятности составляющих его более простых событий AHi,i=1,n¯¯¯¯¯. Данная формула используется в опытах, не сводящихся к схеме случаев.

§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей

3.4. Формула Байеса

Теорема 3.4. Пусть с опытом G связаны гипотезы H1,…,Hn. Предположим, что при проведении опыта произошло событие A, вероятность которого была P(A)>0. Пусть до опыта G были известны лишь априорные вероятности гипотез P(Hi),i=1,n¯¯¯¯¯ и соответствующие им условные вероятности P(A∣∣Hi),i=1,n¯¯¯¯¯ события А. В этом случае условная апостериорная вероятность P(A|Hi) гипотезы Hi, при условии, что событие Aвычисляется по формуле Байеса:

P(Hi|A)=P(Hi)P(A|Hi)∑k=1nP(Hk)P(A|Hk).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Данная формула вытекает из свойств условной вероятности. Действительно, по свойству 17)P имеемP(Hi)P(A|Hi)=P(A)P(Hi|A), откуда следует, что

P(Hi|A)=P(Hi)P(A|Hi)P(A).

Далее остается заменить P(A) формулой полной вероятности. ■

Замечание 3.2.

 Формула Байеса предназначена для вычисления апостериорных вероятностей гипотез после проведения опыта с учетом полученной информации (событие A уже произошло).