§ 9. Двумерные случайные велчичины
9.2. Плотность распределения
Определение 9.5. Неотрицательная кусочно-непрерывная функция f(x,y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной СВ Z=col(X,Y), если
F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(t,τ)dtdτ,
где использована символическая запись для двойного интеграла по области D≜{t≤x,τ≤y}. Такая двумерная СВ Z называется непрерывной.
Свойства f(x,y)
f(x,y)≥0 для всех x,y∈R1. Это вытекает из определения 9.5.
Во всех точках непрерывности функции f(x,y) :
f(x,y)=∂2F(x,y)∂x∂y.
Этот факт вытекает из свойств интеграла с переменным верхним пределом и определенияf(x,y).
P(D)=∫x1x2⎛⎝⎜∫y1y2f(x,y)dy⎞⎠⎟dx, где D≜{x1≤x≤x2,y1≤y≤y2}. По свойству 7)F(x,y)и определению 9.5 имеем
P(D)=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)≜
≜∫−∞x2⎛⎝⎜∫−∞y2f(x,y)dy⎞⎠⎟dx−∫−∞x2⎛⎝⎜∫−∞y1f(x,y)dy⎞⎠⎟dx−∫−∞x1⎛⎝⎜∫−∞y2f(x,y)dy⎞⎠⎟dx+
+∫−∞x1⎛⎝⎜∫−∞y1f(x,y)dy⎞⎠⎟dx=∫x1x2⎛⎝⎜∫y1y2f(x,y)dy⎞⎠⎟dx
P(D)=∬Df(x,y)dxdy, где D — произвольная квадрируемая область на плоскости R2.Доказательство проведем для непрерывной f(x,y). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольникΔD≜{x≤X≤x+Δx,y≤Y≤y+Δy}. Согласно свойству 3)f(x,y) можно записать
P(ΔD)=∫xx+Δx⎛⎝⎜∫yy+Δyf(t,τ)dτ⎞⎠⎟dt=∥∥∥∥ по теореме о среднем значении ∥∥∥∥=f(x˜,y˜)ΔyΔx,
где x˜∈(x,x+Δx),y˜∈(y,y+Δy). При этом f(x˜,y˜)→f(x,y) при Δx→0 и Δy→0.
Таким образом, элемент вероятности f(x,y)dxdy с точностью до бесконечно малых второго порядка равен вероятности попадания двумерной СВ Z=col(X,Y) в бесконечно малый прямоугольник, прилегающий к точке (x,y), со сторонами, параллельными осям координат. Так как квадрируемую область D⊂R2 можно представить с любой степенью точности в виде объединения конечного числа непересекающихся бесконечно малых прямоугольников ΔD, то из аксиомы А3 следует формула для вероятности попадания СВ (X,Y) в D.
∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1, поскольку по свойству 5)F(x,y)
∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy≜F(+∞,+∞)=1.
FX(x)=∫−∞x⎛⎝⎜∫−∞+∞f(t,y)dy⎞⎠⎟dt, FY(y)=∫−∞y⎛⎝⎜∫−∞+∞f(x,τ)dx⎞⎠⎟dτ, , где FX(x), FY(y) — функции распределения СВ X и Y. Например, по свойству 4)F(x,y)
FX(x)=F(x,+∞)≜∫−∞x⎛⎝⎜∫−∞+∞f(t,y)dy⎞⎠⎟dt.
Для FY(y) утверждение доказывается аналогично.
fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy, fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx. Это вытекает из свойству 6)f(x,y) иопределения 5.8. Свойство 7)f(x,y) позволяет по плотности вероятности двумерной СВ Z найти плотности вероятности одномерных СВ X и Y.
Пусть СВ V≜ϕ(X,Y), где X,Y — непрерывные СВ с совместной плотностью f(x,y), а ϕ(x,y) — заданная скалярная функция аргументов x,y∈R1, такая, что ∫−∞+∞∫|ϕ(x,y)|f(x,y)dxdy<∞. Тогда, пользуясь линейными свойствами интеграла, можно показать, что
M[V]=∫−∞+∞∫−∞+∞ϕ(x,y)f(x,y)dxdy.
Причем, если ϕ(x,y)≜∑k=1mϕk(x,y), то, пользуясь линейными свойствами интеграла, можно показать, что M[V]=∑k=1mM[Vk], где Vk≜ϕk(X,Y), k=1,m¯¯¯¯¯¯.
Для независимости непрерывных СВ X и Y достаточно, чтобы выполнялось равенство
f(x,y)=fX(x)fY(y)
во всех точках непрерывности этих функций. Действительно, по определению плотности
∫−∞x∫−∞yf(t,τ)dtdτ=F(x,y)=∥∥∥ в силу незави- симости X и Y∥∥∥=FX(x)FY(y)=
=∫−∞xfX(t)dt∫−∞yfY(τ)dτ=∫−∞x∫−∞yfX(t)fY(τ)dtdτ.
Откуда и следует данное свойство.
Если непрерывные СВ X и Y независимы, то справедлива формула свертки плотностей, т.е. плотность распределения СВ V≜X+Y имеет вид
fV(v)=∫−∞+∞fX(x)fY(v−x)dx,
где fX(x), fY(y) — плотность распределения СВ X и Y. Действительно, пустьD≜{x,y:x+y≤v}. Тогда по свойствам 2) f(x,y) и 8) f(x,y) получаем
FV(v)≜P{X+Y≤v}=∬Df(x,y)dxdy=∬DfX(x)fY(y)dxdy=∫−∞+∞fX(x)⎛⎝⎜∫−∞v−xfY(y)dy⎞⎠⎟dx=
=∥∥ y≜t−x ∥∥=∫−∞+∞fX(x)⎛⎝⎜∫−∞vfY(t−x)dt⎞⎠⎟dx=∫−∞v⎛⎝⎜∫−∞+∞fX(x)fY(t−x)dx⎞⎠⎟dt.
Отсюда, согласно определению 5.8, вытекает формула свертки.
Можно показать также, что верно равенство
fV(v)=∫−∞+∞fX(v−y)fY(y)dy.
Пример 9.3.
Пусть имеются равномерно распределенные СВ X∼R(a;b) и Y∼R(a;b), которые независимы.
Пользуясь формулой свертки, найдем плотность вероятности СВ Z≜X+Y. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение отлично от нуля лишь когда 2a≤v≤2b, а именно
fX(x)=1b−a, если a≤x≤b,
fY(v−x)=1b−a, если a≤v−x≤b.
Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля, получаем
fV(v)=1(b−a)2∫av−adx=v−2a(b−a)2, если 2a≤v≤a+b,
fV(v)=1(b−a)2∫v−bbdx=2b−v(b−a)2, если a+b≤v≤2b.
Таким образом, получаем выражение для плотности треугольного распределения (распределения Симпсона) (рис. 9.3):
fV(v)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0, v<2a, v<2b, v−2a(b−a)2, 2a≤v≤a+b, 2b−v(b−a)2, a+b≤v≤2b.
Рис. 9.3
Пример 9.4.
Пусть имеются СВ X∼N(mX;σ2X) и Y∼N(mY;σ2Y), которые независимы. Найдем плотность вероятности СВ Z=X+Y.
Пользуясь формулой свертки, получаем
fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx=12πσXσY∫−∞+∞exp{−(x−mX)22σ2X−(z−x−mY)22σ2Y}dx.
Из интегрального исчисления известно, что
∫−∞+∞exp{−ax2−2bx−c}dx=πa−−√exp{−ac−b2a}.
В нашем случае
a=12σ2X+σ2Yσ2Xσ2Y, b=mX2σ2X+z−mY2σ2Y, c=m2X2σ2X+(z−mY)22σ2Y.
Таким образом, из структуры плотности следует, что СВ Z имеет нормальное распределение N(mZ;σ2Z), где параметры mZ и σ2Z можно найти из условия нормировки плотности, но проще это сделать, основываясь на свойствах МО и дисперсии, а именно: mZ=M[X+Y]=mX+mY, σ2Z=D[X+Y]=σ2X+σ2Y.