§ 6. Основные дискретные распределения

6.1. Биномиальное распределение

Определение 6.1. Дискретная СВ X с реализациями xk=k,k=0,n¯¯¯¯¯, имеет биномиальное распределение с параметрами n и p∈(0,1), что символически записывается как X~Bi(n;p),если вероятность события {X=xk} определяется формулой Бернулли:

pk≜P{X=xk}≜Pn(k)≜Cknpkqn−k,q=1−p.

Ряд распределения представлен в табл. 6.1.

Пусть опыт G повторяется n раз в одних и тех же условиях, при этом событие A появляется при каждом повторении опыта с одной и той же вероятностью p≜P(A) . Тогда по теореме 3.5вероятность появления события A ровно k раз при n повторениях опыта определяется формулой Бернулли: Pn(k)=Cknpkqn−k , т.е. случайная величина X , являющаяся числом появления событияA при n повторениях опыта, имеет биномиальное распределение.

Таблица 6.1 X 0 1 ... k ... n−1 n P qn npqn−1 ... Cknpkqn−k ... nqpn−1 pn

Замечание 6.1.

 Такое распределение называется биномиальным, так как правая часть формулы Бернулли совпадает с выражением для (k+1) -го слагаемого в разложении бинома Ньютона (p+q)n, и поэтому такое распределение называется биноминальным.

Свойства Bi(n;p)

1. Характеристическая функция СВ X~Bi(n;p) равнаg(t)≜∑k=0npkeitk=∑k=0nCkn(peit)kqn−k= ||бином Ньютона|| =(q+peit)n .

2. Из свойства 3)g(t) получаем значение математического ожидания и дисперсии:

mX≜ν1=1iddtq(t)∣∣∣t=0=1iddt[(q+peit)n]∣∣∣t=0=(q+peit)n−1eit∣∣∣t=0=np(q+p)n−1=np,

ν2=1i2d2dt2q(t)∣∣∣t=0=npiddt[(q+peit)n−1eit]∣∣∣t=0=np2(n−1)e2it(q+peit)n−2∣∣∣t=0++np(q+peit)n−1eit∣∣∣t=0=n2p2+npq.

Учитывая свойство свойство 7) mX , получаем

dX≜μ2=ν2−m2X=n2p2+npq−n2p2=npq.

3. Наиболее вероятное значение k∗ СВ X~Bi(n;p) удовлетворяет неравенству(n+1)p−1≤k∗≤(n+1)p.

Пример 6.1.

 Монету подбрасывают три раза. Требуется найти ряд распределения числа X выпавших "гербов". СВ X распределена по биномиальному закону с параметрами n=3,p=12. Поэтому СВ X   может принимать значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями

p0=C03(12)3=18,p2=p1=C13(12)3=38,p3=1−(p0+p1+p2)=18

соответственно. Таким образом, получаем ряд распределения, представленный в табл. 6.2.

Таблица 6.2 X 0 1 2 3 P 1/8 3/8 3/8 1/8

Пример 6.2.

 Предположим, требуется оценить экономическую целесообразность ежедневного открытия магазина в 8 часов утра в течение 5 рабочих дней. Пусть вероятность появления покупателей в это время суток известна и равна p . Тогда вероятность прихода покупателей в это время k раз за неделю выражается формулой Бернулли. При этом, если, например, для k=4 эта вероятностьP5(4) окажется близкой к единице, то следует ожидать экономический эффект от открытия магазина в 8 часов утра.