Работа 2

Задание. Вычислить значения функций при заданных значениях аргумента

методом разложения в ряд с точностью до 10^-3.

1) y = e^x при а) х₁ = 0,716+0,043n; б) х₂=2,834-0,028n;

2) y = ln(1+x) при х = 0,122+0,018n;

3) y=sin х и y=cos x при а) х₁=0,232+0,012n; б) х₂=0,747-0,014n.

Здесь n=1, 2, 3, … , 30, т.е. соответствует номеру варианта.

Образец выполнения задания

1) y=e^x при а) х₁=0,826; б) х₂=2,417;

2) y=ln(1+x) при х=0,437;

3) y=sin х и y=cos x при а) х₁=0,476; б) х₂=0,684.

1)Воспользуемся разложением

e^х=u₀+u₁+u₂+…+u_i…,

где u₀=1, ( =1, 2, 3,…)

Вычисление отдельных слагаемых продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено неравенство | u_i |<ε, где ε=10^-6.

Составим таблицу значения отдельных слагаемых.

а)x=0.826

i	ui	i	ui
0 1 2 3 4 5	1 0.826 0.341138 0.09392666 0.01939586 0.003200420	6 7 8 9 10	0.00044111 0.00005205 0.00000537 0.00000049 0.00000004

Искомое значение представляет собой следующую сумму:

б) х=2,417

i	ui	i	ui
0 1 2 3 4 5 6 7 8	1 2,417 2,9209445 2,3533076 1,4219861 0,68738808 0,27690283 0,09561059 0,02888635	9 10 11 12 13 14 15	0,00775759 0,00187501 0,00041199 0,00008298 0,00001543 0,00000266 0,00000043

2) Воспользуемся равенством

ln(1+x)=u₁+u₂+u₃+…+u_i+…,

где u₁=x, ( =1, 2, 3, …).

Значения слагаемых занесем в таблицу

i	ui	i	ui
1 2 3 4 5 6 7 8	4,437 -0,0954845 0,02781782 -0,00911729 0,003187440 -0,00116075 0,00043478 -0,00016625	9 10 11 12 13 14 15 16 17	0,00006458 -0,00002540 0,00001009 -0,00000404 0,00000163 -0,00000066 0,00000027 -0,00000011 0,00000005

3)Будем использовать равенства

sin x=u₀+ u₁+u₂+u₃+…+u_i+…,

где u₀=x, ( =1, 2, 3, …);

cos x=v₀+v₁+v₂+…+v_i+…,

где =1, ( =1, 2, 3, …).

Составим таблицу значений слагаемых вида u_i и v_i.

1. x=0.476

i	ui	vi
0 1 2 3 4	0.476 -0.01797503 0.00020364 -0.00000110 0.000000003	1 -0.113288 0.00213903 -0.00001615 0.00000007

Значит,

Для контроля правильности вычислений найдем сумму квадратов полученных значений:

sin²0.476+cos²0.476=0.2099729+0.79002766=1.0000006≈1

Близость суммы к 1 свидетельствует о правильности вычислений.

б) x=0.684

i	ui	vi
0 1 2 3 4	0.684 -0.05333558 0.00124767 -0.00001390 0.00000009	1 -0.233928 0.00912038 -0.00014223 0.00000119
5	-	-0.00000001

sin²=0.684+cos²0.684=0.39929508+0.60070405=0.99999913≈1.

К оглавлению