7. Моделювання випадкових функцій

Випадковою називається функція, значення якої для будь-яких фіксованих значень аргументу є випадковими величинами. Задачу моделювання випадкових функцій у загальному випадку не можна звести до моделювання випадкової функції для кожного значення аргументу, оскільки між значеннями функції існує кореляційна залежність. Випадкова функція, аргументом якої є час (t) носить назву випадкового процесу. Тобто випадковий процес є випадковою функцією часу Х(t), яка для кожного значення свого аргументу є випадковою величиною. Якщо тепер зафіксувати момент часу t = t`, то Х(t`) є випадкова величина, яка повністю характеризується своїм законом розподілу.

Задача моделювання випадкових процесів на ЕОМ розуміється як задача знаходження алгоритму, який дозволяє відтворювати значення (величини) реалізації цього процесу.

Випадковий процес вважається заданим, якщо відомі функція дисперсії D(t), математичного сподівання m(t) і кореляційна функція K(t_i, t_j). Ці функції є невипадковими і визначаються шляхом оброблення експериментальних даних моделюванням методами математичної статистики.

Для моделювання реалізацій нестаціонарних випадкових процесів використовують спосіб, заснований на методі канонічних розкладів.

Суть методу полягає у тому, що реалізація випадкового процесу Х(t) на скінченому інтервалі часу задається у вигляді суми елементарних випадкових функцій

, (2.29)

де W_k – центровані некорельовані випадкові величини з дисперсіями D_k i математичним сподіванням m = 0, а f_k – невипадкові координатні функції часу.

Якщо канонічний розклад випадкового процесу є відомим, то його кореляційна функція і дисперсія визначаються за формулами:

; .

Координатні функції f_k для усіх значень функції на інтервалі, що розглядається, а також дисперсії випадкових величин визначається за співвідношеннями:

, (2.30)

. (2.31)

Зазначимо, що якщо i > j, то f_i (t_j) = 0, а також f_i (t_і) = 1.

Таким чином, алгоритм моделювання реалізацій випадкового процесу, що задається математичним сподіванням m_x(t) і кореляційною функцією K_x(t_i,t_j) полягає у наступному:

• За вхідними даними процесу для всіх дискретних значень функцій у моменти часу t_j визначають дисперсії D_i (2.31) і координатні функції канонічного розкладу відповідно до виразу (2.29).

• Із сукупності випадкових чисел вибирають n чисел і перетворюють їх будь-яким відомим способом у випадкові величини W з заданим розподілом (m_W = 0, D_W = D).

Значення випадкового процесу визначають згідно з виразами:

(2.32)

Наведений алгоритм моделювання у випадку стаціонарних випадкових процесів суттєво спрощується, оскільки у цьому випадку кореляційна функція K_x(t_i, t_j) = k() не залежить від вибору аргументів, а визначається лише їх різницею  = t_j – t_i.

8. Статистична обробка результатів моделювання

У процесі імітаційного моделювання формується значна кількість випадкових реалізацій, яка є вихідними статистичними даними для знаходження наближених значень показників ефективності або їх оцінок. Статистична оцінка є функцією від випадкових величин, отриманих у результаті реалізацій моделі. Тому сама статистична оцінка є випадковою величиною. Її закон розподілу залежить від закону розподілу досліджуваної величини. Збільшення реалізації випадкової величини зумовлює підвищення достовірності статистичних оцінок параметрів системи.

Розглянемо деякі методи обмеження основних статистичних оцінок, до яких відносяться ймовірність і розподіл випадкової величини, математичне сподівання і дисперсія, а також коефіцієнти кореляції випадкової величини.

Оцінювання ймовірності. Для оцінки ймовірності р настання деякої події А використовується її частість

,

де m – кількість випробовувань, під час яких випадкова подія спостерігалась, N – загальна кількість випробовувань. Для отримання оцінки на програмному рівні використовують два лічильники відповідно для підрахунку m і N.

Оцінювання розподілу випадкової величини. Якщо характеристикою досліджуваної системи є закон щільності розподілу, то для його оцінювання використовуються гістограми. Для її побудови інтервал зміни значень випадкової величини розбивають на n відрізків і підраховують кількість попадання значень випадкової величини у конкретний відрізок . Оцінка ймовірності такого попадання має вигляд

.

Це величина називається відносною частістю.

Оцінювання математичного сподівання. Оцінку математичного сподівання отримують як середнє арифметичне значення випадкової величини

Може використовуватися і наступна формула

,

де Х_к – значення випадкової величини, що належить k-му інтервалу, m_k – кількість попадань випадкової величини в інтервал, N – загальна кількість випробовувань.

Оцінювання дисперсії. Оцінку дисперсії S² випадкової величини можна здійснювати за формулами:

; .

Для ефективного використання пам’яті комп’ютера доцільніше використовувати такі формули:

,

або

.

Оцінювання кореляційного моменту. Обчислення оцінки кореляційного моменту двох випадкових величин здійснюється за формулами:

, .