Вариант № 3755041

1. C 2 . В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны рёбра: Точка при­над­ле­жит ребру и делит его в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и

Ре­ше­ние.

Се­че­ние плос­ко­стью пе­ре­се­ка­ет ребро в точке От­ре­зок па­рал­ле­лен от­ре­зок па­рал­ле­лен Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние — па­рал­ле­ло­грамм (рис. 1). Далее имеем:

 

Зна­чит, — ромб. Най­дем его диа­го­на­ли:

 

 

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

 

 

Ответ:

2. C 2 . В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, а бо­ко­вые рёбра равны 3. На ребре от­ме­че­на точка так, что . Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и .

Ре­ше­ние.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке . Плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой .

 

Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую , тогда от­ре­зок (про­ек­ция ) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой . Угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и .

 

По­сколь­ку , по­лу­ча­ем:

 

 

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

 

 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом : ; ; , от­ку­да вы­со­та

 

 

.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с пря­мым углом по­лу­ча­ем:

 

 

.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гой форме: или

 

Ответ: .

3. C 2 . Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да DABC с вер­ши­ной D. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна , вы­со­та равна . Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра BD до пря­мой МТ, где точки М и Т — се­ре­ди­ны ребер АС и AВ со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние.

Пусть Q — се­ре­ди­на ребра CD, P — се­ре­ди­на ребра ВD. По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка ; сле­до­ва­тель­но, точки М, Т, Р, Q лежат в одной плос­ко­сти.

 

, сле­до­ва­тель­но, точки М, Т, Р, Q яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Кроме того, , а по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах (так как ), по­это­му этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник. Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние есть длина от­рез­ка РТ. От­ре­зок АО равен .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

;

 

а .

Ответ: .

4. C 2 . В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны Най­ди­те угол между пря­мой и плос­ко­стью

Ре­ше­ние.

Плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пер­пен­ди­ку­ляр из точки к плос­ко­сти лежит в плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке . Зна­чит, ис­ко­мый угол равен углу . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет , ги­по­те­ну­за . По­это­му

 

.

 

Тогда .

 

Ответ: .

 

При­ме­ча­ние.

Воз­мож­ны дру­гие формы от­ве­та: .

 

5. C 2 . В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA'B'C' сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые ребра равны 4. Изоб­ра­зи­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через вер­ши­ны A, B и се­ре­ди­ну ребра A'C'. Най­ди­те его пло­щадь