Теорема Гаусса

Потоком вектора напряженности равномерного электрического поля через некоторую плоскость, перпендикулярную вектору, называют произведение модуля (абсолютной величины) вектора на площадь, ко­торую он пронизывает:

N= ES.

Если поле неравномерно, то рассматривают такую малую площадку ∆S, в пределах которой поле можно считать равномерным.

В этом слу­чае ∆N = E∆S.

Если ∆S устремить к нулю, то получим

dN = EdS. (1.15)

Здесь через N обозначен поток вектора напряженности электриче­ского поля.

Найдем поток вектора Е через сферу, в центре ко­торой находится точечный заряд Q, (рис. 1.8).

Подставив (1.4) в (1.15), получим

Р ис. 1.8. Уединенный электрический заряд

Возьмем интеграл от левой и правой частей выра­жения (1.16), при этом учтем, что

и может быть вынесено за знак интеграла.

Тогда

где S — поверхность сферы, S = 4πR².

Следовательно,

(1.17)

Соотношение (1.17) оказывается справедливым и в общем случае для замкнутой поверхности произвольной формы, ограничивающей произвольную систему положительных и отрицательных зарядов.

Эта теорема в общем виде была доказана немецким математиком Гауссом и может быть кратко сформулирована следующим образом: по­ток вектора напряженности электрического поля через замкнутую по­верхность равен отношению алгебраической суммы электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлек­трической проницаемости среды:

(1.18)

где ∑Q — сумма зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности, составленная с учетом их знаков.

Карточка 1.8 (220)

Теорема Гаусса

Вектор напряженности равномер­	N = 4	3
ного поля Е = 2 В/м пронизывает под прямым углом площадку S= 2 см2. Найдите поток вектора	N = 4 Вм	18
	N = 0,04 В м	23
	N = 0,0004 В м	38
При прочих равных условиях в первом случае вектор напряженно­сти перпендикулярен площадке, во втором — наклонен. Когда поток вектора больше?	В первом случае	39
	Во втором случае	54
	Задача не определена	59
В электрическом поле точечного заряда проведены две концентри­ческие поверхности с центрами в точке заряда. Через какую поверх­ность поток вектора напряженно­сти больше?	Через ту, которая ближе к заряду	72
	Через ту, которая дальше от заряда	82
	Потоки одинаковы	92
В предыдущем случае заряд из воз­душной среды перенесли в транс­форматорное масло (εг = 2,3). Как изменились потоки?	Не изменились	97
	Увеличились	107
	Уменьшились	119
В чем смысл теоремы Гаусса?	Введено понятие потока вектора	123
	Установлена связь между зарядом и потоком вектора	132