Лекция 01. Теория множеств

Введение

Среди всех наук математика занимает особое место. Математика определяется как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Объектами изучения в математике являются логические модели, построенные для описания явлений природы и общества. Математика изучает соотношения между элементами этих моделей. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет вскрывать необнаруженные вначале закономерности. В силу большой абстрактности одна и та же модель может описывать различные процессы. Например, уравнение описывает характер и радиоактивного распада, и изменения температуры тела, и протекания демографического процесса.

При изучении явлений природы и общества мы на каждом шагу сталкиваемся с изменением величины, с зависимостью одной величины от другой. Введение в математику понятий переменной величины и функции позволило перейти от решения отдельных разрозненных задач к созданию общих методов их решения. Развитие математического анализа, создание которого является одним из величайших достижений человеческого разума, оказало огромное влияние на общий прогресс науки и техники.

В предлагаемом курсе лекций мы рассмотрим теорию множеств, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисления. Изучение материала следует проводить строго последовательно, так как в математике все понятия тесно связаны между собой.

Лекция 1. Теория множеств.

1.1. Понятие множества.

В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные или уже известные.

Понятие множества является первичным, то есть не определяется через более простые. Слова совокупность, система, набор, объединение являются синонимами слова множество.

Множество – это совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества.

 Пример 1.1. Примерами множеств служат множество натуральных чисел, множество молекул в данном теле, множество студентов и т.д. 

Будем обозначать множества большими латинскими буквами A,B,…,X,Y,…, а их элементы малыми – a,b,…,x,y,….

Запись означает, что x является элементом множества A, принадлежит данному множеству. Соответственно, – x не является элементом множества A.

Запись означает, что A является подмножеством B (можно: ).

Запись означает пустое множество. Верна запись: . Приведём пример пустого множества: множество круглых квадратов.

Можно записывать множества так: , .

Если множества A и B равны, пишут . Равенство множеств не всегда означает, что . Например, если , , где p и q – простые числа, большие 2. Ясно, что , но не установлено, верно ли, что .

1.2. Операции над множествами.

Для множеств можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают свойствами, аналогичными свойствам операций сложения и умножения чисел.

Пусть даны два произвольных множества A и B.

Определение 1.1. Суммой (объединением) множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов множеств A или B.

или ( – Union – объединение). Легко видеть, что .

Определение 1.2. Произведением (пересечением) множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множествам A и B.

или . Очевидно, что . Если , то A и B не пересекаются.

Определение 1.3. Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов множества A, которых нет в множестве B.

В общем случае , но если , то .

Определение 1.4. Дополнением подмножества C до множества A называется подмножество D, элементы которого не принадлежат С и

☼ Задание. Привести примеры суммы, разности, произведения двух или нескольких множеств, примеры подмножеств. ☼

1.3. Символика математической логики.

Импликация: (из следует β).

Эквивалентность: ( и β эквивалентны).

Квантор всеобщности: (для всякого x, принадлежащего множеству A, имеет место предположение ).

Квантор существования: (существует такой y, принадлежащий множеству B, что имеет место β).

или означает существование единственного элемента х.

Отрицание : . На примере разберём, как работает эта операция.

 Пример 1.2. Построим отрицание: , . 

Таким образом, чтобы построить отрицание данной логической формулы, содержащей кванторы и , необходимо заменить на , на и на свойство, стоящее после двоеточия поставить отрицание.

 Пример 1.3. . Построим отрицание этого предложения:

. 

Конъюнкция «и»: или ( и β – некоторые высказывания).

Дизъюнкция «или»: .

Операции конъюнкции и дизъюнкции связаны следующим образом:

, .

Логические операции конъюнкции и дизъюнкции элементов аналогичны соответственно операциям пересечения и объединения множеств. Составим таблицу истинности для высказываний и . 1 означает истинное высказывание, 0 – ложное высказывание.

Таблица истинности:

1	1	1	1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	1	1
0	0	0	0	1	1	1	1	1	1

Для операций над множествами можно составить аналогичную таблицу.

1.4. Свойства множеств.

Коммутативность:

1˚. .

2˚. .

Ассоциативность:

3˚. .

4˚. .

Доказательство законов 1˚–4˚ следует из определений 1.1 и 1.2.

Дистрибутивность:

5˚. .

6˚. .

Дистрибутивные законы доказываются с помощью таблицы истинности.

Закон отрицания отрицания:

7˚. .

Законы де Моргана:

8˚. .

9˚..

Докажем свойство 8˚:

Доказательство свойства 9˚ проводится аналогичным образом.

Законы де Моргана можно доказать и при помощи таблицы истинности.

10˚. .

11˚. .

12˚. .

13˚. .

14˚. , где I – объединение всех множеств.

15˚. .

16˚. .

17˚. .

Определение 1.5. Множество Х называется бесконечным, если в множестве Х имеется столько элементов, что их количество больше n.

Определение 1.6. Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (), то есть существует такое правило, закон, по которому соответствует вполне определённый элемент . При этом в силу этого правила двум разным элементам соответствуют два разных элемента , и каждый элемент соответствует некоторому элементу .

 Пример 1.4. Если A – множество точек на окружности радиуса , B – множество точек на окружности радиуса R с тем же центром, то . Очевидно, что если , то . 

Определение 1.7. Если , то множество X называется счётным.

Естественно, само множество натуральных чисел N счётно .

Множество всех чётных натуральных чисел счётно .

, Таким образом, подмножество множества оказалось эквивалентным всему множеству.

Счётное множество будем записывать в виде последовательности его элементов: .

♦ Предложение 1.1. Счётная сумма счётных множеств E^k есть счётное множество.

Доказательство:

Перенумеруем элементы счётных множеств E^k в следующем порядке: , выбрасывая те элементы, которые были до этого занумерованы: может случиться, что E^k и E^l имеют общие элементы. В результате получим бесконечную последовательность элементов , исчерпывающих множество E. Это доказывает, что Е – счётное множество.

Аналогично доказывается, что конечная сумма счётных или конечных множеств, среди которых есть хотя бы одно счётное, счётна. ■

1.5. Мощность множества.

Если два конечных множества эквивалентны, то они состоят из одного и того же числа элементов.

Если множества М и N эквивалентны, то они имеют одинаковую мощность.

Мощность множества натуральных чисел (то есть счётного множества) обозначается символом (алеф нуль) = Card N. Мощность множества действительных чисел отрезка [0,1] обозначается или С и носит название мощность континуума.

7