Лабораторна робота №4
Математичні моделі антикризового індикативного планування на базі методу аналізу ієрархій (вибір і прогнозування забезпечення банківського кредиту)
Завдання:
Комерційний банк вивчає питання надання
кредиту одному зі своїх клієнтів. Клієнт
пропонує альтернативні варіанти щодо
застави, а саме:
- іноземна валюта;
-
дорогоцінні метали;
-
цінні папери;
-
нерухомість (структуру ієрархічної
моделі, що впорядковує цілі, чинники,
критерії якості і визначає загальний
зиск наведено на рис.1) – її узгодили
між собою експерти та СПР)). Визначити
найбільш надійну заставу кредиту за
допомогою методу аналізу ієрархій.
Теоретичні відомості:
Крок 1. Здійснюється декомпозиція цілі в ієрархію, яка у найбільш простому варіанті представлена на рис. 1.
Крок 2. Формується матриця, елементами якої є числа, що показують відносну важливість кожного критерію відносно всіх інших. Матриця має наступний вигляд:
де h – кількість критеріїв.
Матриця
агрегує думки експертів відносно
взаємної пріоритетності критеріїв (
).
Принцип формування матриці описаний в
таблиці нижче.
Інтенсивність (вага) відносної важливості |
Якісна оцінка |
Пояснення |
1 |
Однаково важливі |
Обидва елементи роблять однаковий внесок щодо досягнення кінцевої цілі |
3 |
Не набагато важливіший |
Існують висловлювання відносно пріоритету одного елемента щодо іншого, але ці висловлювання досить непереконливі |
5 |
Суттєво важливий |
Існують достатньо переконливі докази та логічні критерії, що один з елементів є важливішим (вагомішим) |
7 |
Значно важливіший |
Існують переконливі докази великої значущості одного елемента порівняно з іншим |
9 |
Абсолютно важливіший |
Усвідомлення пріоритету одного елемента щодо іншого максимально підтверджується |
2, 4, 6, 8 |
Проміжні оцінки між двома сусідніми судженнями |
Потрібен певний компроміс |
|
Обернені значення ненульових оцінок |
Якщо елементу
|
0 |
Непорівняльність |
Немає сенсу в порівнюванні елементів |
при
порівнянні з елементом
надається одна з ненульових
інтенсивностей, то елементу
при порівнянні з
надається
обернене значення цієї інтенсивності
Хід виконання:
Крок 3. Після побудови ієрархічної моделі і складання матриць попарних порівнянь проводиться ієрархічний синтез. Сутність цього етапу полягає у побудові вектора рейтингових оцінок альтернативних рішень (стратегій) шляхом синтезу векторів пріоритету матриць попарних порівнянь часткових цілей, критеріїв тощо.
Вектори пріоритету можна обчислити в такі способи:
Як головний власний вектор матриці;
Як середньогеометричне елементів рядків матриці (окремо для кожного рядка);
Іншими методами.
Якщо в якості
елементів вектора пріоритету
використовувати середньогеометричні
елементи рядків матриці
,
тобто величини
то
елементи вектора вагових коефіцієнтів
пріоритету
обчислюється за формулою
.
Крок 4. Оцінюється однорідність суджень експертів. Необхідність цього кроку обумовлена тим, що кількісна (кардинальна) і транзитивна (порядкова) однорідність може бути порушена, оскільки людські відчуття не можна виразити точною формулою. Наприклад, при співставленні критеріїв експерт може показати, що критерій А володіє більш високим рівнем значимості, ніж критерій Б, критерій Б переважає на критерієм В, але В важливіший ніж А. Зокрема, це може статися, коли критерії А, Б, В мають близькі рівні значимості.
В
якості оцінки узгодженості суджень
експерта у розрізі матриці порівнянь
використовується індекс
де:
- індекс узгодженості суджень;
- максимальне власне значення матриці
попарних порівнянь
.
У випадку, коли безпосереднє обчислення величини спричинює певні труднощі, можна скористатися наближеним методом, що складається з двох послідовних кроків.
Крок 1. Для кожного стовпчика матриці попарних порівнянь знаходиться сума його елементів
із цих сум утворюється вектор-рядок
Крок 2.
Величина
покладається рівною добутку векторів
та
тобто
.
Використовується також відносна оцінка узгодженості суджень
де:
‑ відносна узгодженість суджень
експерта відповідно до матриці попарних
порівнянь
‑ індекс узгодженості суджень
відповідно до матриці
‑ нормативне значення (математичне
сподівання) індексу узгодженості
суджень, обчислення якого здійснюється
експериментально, шляхом імітаційного
моделювання матриці попарних порівнянь.
У табл. 3 наведені значення
залежно від порядку матриці (отримані
у праці Сааті).
Таблиця 3
НОРМАТИВНІ ЗНАЧЕННЯ ІНДЕКСУ УЗГОДЖЕНОСТІ СУДЖЕНЬ
Порядок матриці, n |
Нормативне значення, М(ІУС) |
Порядок матриці, n |
Нормативне значення, М(ІУС) |
Порядок матриці, n |
Нормативне значення, М(ІУС) |
1 |
0,00 |
6 |
1,24 |
11 |
1,51 |
2 |
0,00 |
7 |
1,32 |
12 |
1,54 |
3 |
0,58 |
8 |
1,41 |
13 |
1,56 |
4 |
0,90 |
9 |
1,45 |
14 |
1,57 |
5 |
0,12 |
10 |
1,49 |
15 |
1,59 |
В якості допустимого
використовується значення
(у деяких випадках використовуються
).
Якщо ж для матриці попарних порівнянь
перевищує задану норму (0,1 чи 0,2), то це
вказує на те, що заповнення матриці
попарних порівнянь здійснювалось із
суттєвими порушеннями щодо логічних
суджень. А тому експертові пропонується
перевірити свої судження, а то й заново
структурувати задачу.
Враховуючи, що за
індекс узгодженості суджень
нормативне значення індексу узгодженості
суджень
отримуємо, що
тобто є невизначеним. Для уникнення
невизначеності в цьому випадку (при
)
покладають
Оцінювання узгодженості всієї ієрархії здійснюється шляхом складання зважених показників узгодженості всіх її рівнів.
Якщо для матриць
,
що відповідають елементам
-го
рівня ієрархії (
),
визначено індекси узгодженості суджень
(
)
і з цих індексів утворено вектори-рядки
то індекс узгодженості (ІУІ) повної домінантної ієрархії (що має L рівнів) визначається за формулою
Узгодженість ієрархії можна оцінювати також і на основі відносної оцінки
де: ВУІ – відносна оцінка узгодженості ієрархії; М(ІУІ) – нормативне значення індексу узгодженості ієрархії. Для повної домінантної ієрархії М(ІУІ) обчислюється за формулою
Узгодженість
ієрархії вважається допустимою, якщо
(іноді допускається
Хід роботи:
Аналізуюмо ієрархічну модель.
Складаємо матриці попарних порівнянь для кожного елемента ієрархії:
А) Для зиску і витрат:
|
зиск |
витр |
зиск |
1 |
2 |
витр. |
1/2 |
1 |
Б) Для економічного, фізичного, юридичного зиску:
|
ек |
фіз |
юр |
ек |
1 |
4 |
5 |
фіз |
1/4 |
1 |
3 |
юр |
1/5 |
1/3 |
1 |
В) Для економічних, фізичних, юридичних витрат:
|
ек |
фіз |
юр |
ек |
1 |
5 |
6 |
фіз |
1/5 |
1 |
3 |
юр |
1/6 |
1/3 |
1 |
Г)Для збільшення вартості, повернення вартості, ліквідності:
|
зб. Варт. |
пов. Варт. |
лікв. |
зб. Варт. |
1 |
4 |
5 |
пов. Варт. |
1/5 |
1 |
3 |
лікв. |
1/5 |
1/3 |
1 |
Д) Для відсутності зносу і наявності місця для зберігання:
|
відс. Знос. |
м. збер. |
відс.знос. |
1 |
3 |
м. збер. |
1/3 |
1 |
Е) Для Законодавчо оформленого права щодо вимоги і гарантії щодо використання
майна:
|
пр. вимог. |
гар. Вик. |
пр. вимог. |
1 |
1/2 |
гар. Вик. |
2 |
1 |
Ж) Для зменшення вартості, низької ліквідності, витрат на реалізацію :
|
зм. Варт. |
нелікв. |
реал. |
зм. Варт. |
1 |
6 |
7 |
нелікв. |
1/6 |
1 |
3 |
реал. |
1/7 |
1/3 |
1 |
З) Для фізичног зносу, морального зносу, витрат на зберігання:
|
ф. знос |
м. знос |
збер. |
ф. знос |
1 |
4 |
1/5 |
м. знос |
1/5 |
1 |
1/6 |
збер. |
5 |
6 |
1 |
И) Для оформлення документів і судових позовів:
|
оф. Док. |
суд. Поз. |
оф. Док. |
1 |
4 |
суд. Поз. |
1/4 |
1 |
К) Для іноземної валюти, дорогоцінних металів, цінних паперів і нерухомості (по порядку, згідно ієрархії)
щодо пункту Г
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/6 |
2/5 |
0 |
метали |
3 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
1/3 |
1 |
19/86 |
нерух. |
6 |
2 |
3 |
1 |
2 4/9 |
1/2 |
|
12 |
5 1/3 |
5 |
2 |
4 6/7 |
|
|
4 1/7 |
0,046775 |
0,9 |
0,051972 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
4 |
4 |
3 |
2 5/8 |
1/2 |
метали |
1/4 |
1 |
3 |
2 |
1 1/9 |
2/9 |
ЦП |
1/4 |
1/3 |
1 |
1 |
1/2 |
1/9 |
нерух. |
1/3 |
1/2 |
1 |
1 |
2/3 |
1/8 |
|
1 5/6 |
5 5/6 |
9 |
7 |
5 |
|
|
4 1/4 |
0,077989 |
0,9 |
0,086655 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
4 |
2 |
3 |
2 1/5 |
1/2 |
метали |
1/4 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1/5 |
ЦП |
1/2 |
1 |
1 |
4 |
1 1/5 |
11/45 |
нерух. |
1/3 |
1/3 |
1/4 |
1 |
2/5 |
0 |
|
2 |
6 1/3 |
4 1/4 |
11 |
4 3/4 |
|
|
4 1/8 |
0,041005 |
0,9 |
0,045561 |
|
|
щодо пункту Д
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/6 |
2/5 |
0 |
метали |
2 |
1 |
2 |
5 |
2 1/9 |
3/7 |
ЦП |
1 |
1/2 |
1 |
3 |
1 1/9 |
5/22 |
нерух. |
6 |
1/5 |
1/3 |
1 |
4/5 |
1/6 |
|
10 |
2 |
3 5/6 |
9 1/6 |
4 3/7 |
|
|
4 |
0,031742 |
0,9 |
0,035268 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
3 |
2 |
7 |
2 5/9 |
1/2 |
метали |
1/3 |
1 |
1/2 |
3 |
5/6 |
1/6 |
ЦП |
1/2 |
2 |
1 |
3 |
1 1/3 |
23/85 |
нерух. |
1/7 |
1/3 |
1/3 |
1 |
1/3 |
0 |
|
2 |
6 1/3 |
3 5/6 |
14 |
5 |
|
|
4 1/5 |
0,063 |
0,9 |
0,07 |
|
|
щодо пункту Е
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/4 |
1/2 |
1/7 |
3/8 |
0 |
метали |
4 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 2/3 |
9/26 |
нерух. |
7 |
2 |
1/2 |
1 |
1 5/8 |
1/3 |
|
14 |
5 1/4 |
2 1/2 |
3 2/3 |
4 2/3 |
|
|
4 2/9 |
0,071698 |
0,9 |
0,079665 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/4 |
1/2 |
1/7 |
3/8 |
0 |
метали |
4 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 2/3 |
9/26 |
нерух. |
7 |
2 |
1/2 |
1 |
1 5/8 |
1/3 |
|
14 |
5 1/4 |
2 1/2 |
3 2/3 |
4 2/3 |
|
|
4 2/9 |
0,071698 |
0,9 |
0,079665 |
|
|
щодо пункту Ж
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/6 |
2/5 |
0 |
метали |
2 |
1 |
2 |
5 |
2 1/9 |
3/7 |
ЦП |
1 |
1/2 |
1 |
3 |
1 1/9 |
5/22 |
нерух. |
6 |
1/5 |
1/3 |
1 |
4/5 |
1/6 |
|
10 |
2 |
3 5/6 |
9 1/6 |
4 3/7 |
|
|
4 |
0,031742 |
0,9 |
0,035268 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/6 |
2/5 |
0 |
метали |
3 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
1/3 |
1 |
19/86 |
нерух. |
6 |
2 |
3 |
1 |
2 4/9 |
1/2 |
|
12 |
5 1/3 |
5 |
2 |
4 6/7 |
|
|
4 1/7 |
0,046775 |
0,9 |
0,051972 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/6 |
2/5 |
0 |
метали |
3 |
1 |
1/3 |
1/2 |
5/6 |
1/6 |
ЦП |
2 |
3 |
1 |
1/2 |
1 1/3 |
23/85 |
нерух. |
6 |
2 |
2 |
1 |
2 1/5 |
1/2 |
|
12 |
6 1/3 |
3 5/6 |
2 1/6 |
4 7/9 |
|
|
4 1/8 |
0,042058 |
0,9 |
0,046731 |
|
|
щодо пункту З
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/4 |
1/2 |
1/6 |
3/8 |
0 |
метали |
4 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
1/3 |
1 |
19/86 |
нерух. |
6 |
2 |
3 |
1 |
2 4/9 |
1/2 |
|
13 |
5 1/4 |
5 |
2 |
5 |
|
|
4 1/5 |
0,06917 |
0,9 |
0,076856 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/4 |
1/2 |
1/7 |
3/8 |
0 |
метали |
4 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
1/2 |
1 1/5 |
11/45 |
нерух. |
7 |
2 |
2 |
1 |
2 1/3 |
1/2 |
|
14 |
5 1/4 |
4 |
2 1/7 |
4 6/7 |
|
|
4 1/8 |
0,04128 |
0,9 |
0,045867 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/6 |
2/5 |
0 |
метали |
3 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
1/3 |
1 |
19/86 |
нерух. |
6 |
2 |
3 |
1 |
2 4/9 |
1/2 |
|
12 |
5 1/3 |
5 |
2 |
4 6/7 |
|
|
4 1/7 |
0,046775 |
0,9 |
0,051972 |
|
|
щодо пункту И
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
4 |
4 |
3 |
2 5/8 |
1/2 |
метали |
1/4 |
1 |
3 |
2 |
1 1/9 |
2/9 |
ЦП |
1/4 |
1/3 |
1 |
1 |
1/2 |
1/9 |
нерух. |
1/3 |
1/2 |
1 |
1 |
2/3 |
1/8 |
|
1 5/6 |
5 5/6 |
9 |
7 |
5 |
|
|
4 1/4 |
0,077989 |
0,9 |
0,086655 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
валюта |
метали |
ЦП |
нерух. |
|
|
валюта |
1 |
1/3 |
1/2 |
1/5 |
3/7 |
0 |
метали |
3 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
1/5 |
ЦП |
2 |
2 |
1 |
1/3 |
1 |
19/86 |
нерух. |
5 |
2 |
3 |
1 |
2 1/3 |
1/2 |
|
11 |
5 1/3 |
5 |
2 |
4 7/9 |
|
|
4 |
0,023531 |
0,9 |
0,026146 |
|
|
Знаходимо вектори індексів узгодженості суджень, їх математичних очікувань та відносної оцінки узгодженості суджень для кожного рівня ієрархії і перевіряємо, чи менші їх компоненти за 0,1.
ІУС0={0}
ІУС1={0,043, 0,047}
ІУС2={0,007, 0, 0, 0,050, 0,054, 0}
ІУС3={0,047}
М(ІУС0)={0}
М(ІУС1)={0,58, 0,58}
М(ІУС2)={0,58, 0, 0, 0,58, 0,58, 0)
М(ІУС3)={0,9}
ВУС0={0}
ВУС1={0,074, 0,081}
ВУС2={0,013, 0, 0, 0,056, 0,093, 0}
ВУС3={0,052}
Знаходимо індекс узгодженості ієрархії, індекс математичного очікування узгодженості ієрархії та індекс відносної оцінки узгодженості ієрархії.
ІУІ=0,11
М(ІУІ)=2
ВУІ=0,06
5. Перевіряємо допустимість узгодженості ієрархії за ВУІ=0,06<0,1.
6. Вибираємо забезпечення на основі врахування всіх оцінок експертів.
Матриці коефіцієнтів V для нижнього рівня ієрархії:
E1
0,0840 |
0,5413 |
0,4552 |
0,1914 |
0,2276 |
0,1914 |
0,2210 |
0,1105 |
0,2445 |
0,5037 |
0,1314 |
0,0840 |
E2
0,0840 |
0,5235 |
0,4349 |
0,1729 |
0,2276 |
0,2706 |
0,1635 |
0,0730 |
E3
0,0752 |
0,0752 |
0,2056 |
0,2056 |
0,3458 |
0,3458 |
0,3345 |
0,3345 |
E4
0,0840 |
0,0840 |
0,0840 |
0,4349 |
0,1914 |
0,1729 |
0,2276 |
0,2210 |
0,2706 |
0,1635 |
0,5037 |
0,4552 |
E5
0,0781 |
0,0752 |
0,0840 |
0,2056 |
0,2056 |
0,1914 |
0,2210 |
0,2445 |
0,2210 |
0,5037 |
0,4730 |
0,5037 |
E6
0,5413 |
0,0879 |
0,2276 |
0,1914 |
0,1105 |
0,2210 |
0,1314 |
0,4813 |
Перемноживши їх на відповідні коефіцієнти з другого рівня ієрархії, отримаємо матрицю E2i, де кількість стовпців i=6.
0,21925 |
0,211024 |
0,075172 |
0,083951 |
0,082062 |
0,531024 |
0,199073 |
0,402134 |
0,205638 |
0,372651 |
0,195462 |
0,259666 |
0,199872 |
0,259472 |
0,345841 |
0,229814 |
0,222714 |
0,156251 |
0,381531 |
0,153394 |
0,334486 |
0,244643 |
0,501443 |
0,237312 |
Перемноживши цю матрицю на матрицю з коефіцієнтів першого рівня ієрархії, отримаємо матрицю E1i, де i=2.
0,202893 |
0,12296 |
0,245531 |
0,328203 |
0,228006 |
0,221952 |
0,325343 |
0,293993 |
Перемноживши цю матрицю на вектор з коефіцієнтів нульового рівня ієрархії, отримаємо вектор E0i, де i=1.
0,176249 |
0,273089 |
0,225988 |
0,314893 |
В цьому веторі найбільше значення коефіцієнта відповідає нерухомості, отже, експерти вважають нерухомість найкращим забезпеченням кредиту.
6. Робимо висновок.
Висновок: ієрархію вцілому, як і її окремі рівні можна вважати узгодженою, отже, висновок експертів про вибір нерухомості як забезпечення можна згідно методу ієрархій вважати правильним
.