4.5.3. Собственные состояния тензора с

Четыре собственных состояния тензора С уже представлены на рис. 4.5 применительно к случаю кубической симметрии. Очевидно, два состояния Т(4,5) соответствуют собственным значениям 2с₄₄; например, СТ(4)=CV(4)/ = 2с₄₄ Т(4). Вследствие вырождения Т(4) и Т(5) модуль сдвига с₄₄ относится ко всем сдвигам с плоскостью или направлением сдвига, параллельными гексагональной оси: это означает изотропию относительно этой оси для сдвигов указанного типа. Собственными состояниями являются также тензоры Т(6) и Т(2); соответствующее собственное значение с₁₁-с₁₂, модуль сдвига (с₁₁-с₁₂)/2 – для сдвигов с плоскостью и направлением сдвига, перпендикулярными гексагональной оси. Что касается остальных двух состояний Т(1) и Т(3), то по отношению к ним тензор С, вообще говоря, недиагонален. Таким образом, пять неависимых модулей – это два сдвиговых модуля с₄₄ и (с₁₁-с₁₂)/2 и три матричных элемента С¹¹, С¹³, С³³. Для того, чтобы найти остальные два собственных значения и выразить соответствующие собственные состояния через Т(1) и Т(3), нужно было бы решить квадратное уравнение.

Во всяком случае, Т(1) уже не является собственным состоянием и поэтому давление не приводит к деформации, сохраняющей геометрическое подобие. Из соотношения

(4.49)

Получаем для σ = -p, т.е. σ₁ = σ₂ = σ₃ = -p,

; . (4.49a)

Сжимаемость определяется выражением

(4.50)

Напряжения, параллельные ( ) и перпендикулярные ( ) гексагональной оси, оказываются различными. В терминах с_αβ имеем

(4.50a)

Например для Zn: откуда 1/К=1,62 [10^-12 дин/см²], К=0,62 [10^-12 дин/см²].

Упругая устойчивость требует, чтобы все собственные значения С (или с) были положительными. Этими собственными значениями являются

2с₄₄ , с₁₁-с₁₂ и ,

так что

с₄₄ , с₁₁-с₁₂, с₁₁+с₁₂+с₃₃, (с₁₁+с₁₂) с₃₃- >0.

Два первых условия обеспечивают положительность модулей сдвига; два последних условия достаточны для того, чтобы оставшиеся два собственных значения С были положительны.

1 Ср. замечания в разд. 3.2.4 Все индексы x, y, z переходят друг в друга; компоненты с единственным индексом x, y или z равны нулю. Остаются таким образом, лишь компоненты С_xx,xx = C_yy,yy = . . . = C₁₁, С_xx,yy = C_xx,zz = . . . = C₁₂, С_xy,xy = C_xz,xz = . . . = C₄₄ .

2

3 Условия изотропии имеют такой же вид и для тензора S_αβ, определенного (4.30в), S₁₁ – S₁₂ - 2 S₄₄ =0, но принимают иной вид для величин приводимых а таблицах:

4 Соотношение С¹³ = 0 не очевидно. Это равенство следует из соотношений С¹² = С^12ʹʹ, поскольку Т(3) – линейная комбинация Т(2ʹ) и Т(2ʹʹ).