4.4.3. Уравнения движения

Используя тензор Хуанга (4.34),

(4.46)

Записываем уравнение движения в виде

(4.46a)

например

(4.46б)

В случае если 2h₄₄=c₁₂+c₄₄=0, уравнения (4.46а,б) разделяются на независимые уравнения для трех компонент s_x,y,z; если при этом рассматривать изотропный случай, имеем

(4.47)

В соответствии с соотношениями c₁₁=c₄₄, c₁₂=-c₄₄, т.е.

(4.47а)

Эти выражения описывают очень простую модель вещества с единственным упругим модулем, которая, к сожалению, статически неустойчива, поскольку 3К=-с₄₄ < 0 при с₄₄>0. Решеточной аналогией тут является модель связей (рис.3.15г), которая динамически устойчива и может бать использована для представления структуры динамических величин, например .

В векторних обозначениях уравнение движения в изотропном случае имеет вид

(4.46в)

И для простой модели (4.47),

Получается простое и легко решаемое волновое уравнение для трех компонент s.

4.4.4. Обзор параметров теории упругости

Табл. 4.2 и 4.3 содержат параметры теории упругости, определенные при комнатно температуре (если не содержится специальных оговорок) для большинства металлов с ГЦК и ОЦК-решетками. Модули имеют размерность плотности энергии; их характерный порядок величины ~1эВ/Ǻ³=1,6*10¹² дин/см². На рис. 4.11 проводится сравнение объемных модулей; обычные металлы с ОЦК-решеткой являются наиболее жесткими; далее идут металлы с ГЦК-решеткой, а щелочные металлы с ОЦК-решеткой имеют наименьшую жесткость. На рис. 4.12 в координатах К/µ, µ´/µ представлены графически пределы устойчивости и другие соотношения, представляющие интерес. В той же координатной системе на рис. 4.13 указаны параметры большинства металлов; мы видим, что некоторые металлы почти изотропны, например W и Al, а другие, на оборот, демонстрируют заметные отклонения от анизотропии, например щелочные металлы.

Таблица 4.2 Модули упругости [10¹² дин/см²] при комнатной температуре, постоянная решетки а [Ǻ] и плотность ρ₀ [г/см³] для металлов с ГЦК-решеткой;

Металл	ρ0	а	с11	с12	с44	µ´	К	Ссылка
Ag	10,5	4,09	1,23	0,92	0,453	0,16	1,02	А
Al	2,7	4,05	1,07	0,607	0,282	0,23	0,76	Б
Au	19,3	4,08	1,90	1,61	0,423	0,15	1,71	А
Cu	8,92	3,61	1,69	1,22	0,755	0,24	1,38	А
Ir	22,5	3,84	6,0	2,6	2,7	1,7	3,73	Б
Ni	8,9	3,52	2,51	1,50	1,24	0,51	1,84	Б
Pb	11,3	4,95	0,495	0,423	0,149	0,04	0,45	Б
Pd	12,0	3,89	2,26	1,76	0,717	0,25	1,93	Б
Pt	21,5	3,92	3,47	2,51	0,765	0,48	2,83	А
Th	11,7	5,08	0,755	0,489	0,478	0,13	0,58	A

А - Landolt – Bornstein, New Series, Vol. 111/2/ Berlin – Heidelbery – New York, Springer, 1969.

Б – S. Allard (ed.): Int. Tables of Selected Constants, Vol. 16., Oxford Pergamon Press, 1969.

В – G. Simmons, H. Wang: Single Crystal Elastic Constants, Cambridge//Mass, MIT Press, 1971.

Г – F.W. Vahldiek, S.A. Mersol (eds): Anisotropy in Single Crystal Refractory Compounds, New York – London, Plenum Press, 1968.

Рис. 4.11. Объемные модули металлов с кубической решеткой

(не представлен Ir с большим значением 3,73).

Таблица 4.3. Модули упругости, постоянные решетки и плотность для металлов с ОЦК-решеткой.

Металл	ρ0	а	с11	с12	с44	µ´	К	Ссылка
Cr	7,2	2,89	3,5	0,678	1,01	1,41	1,62	А
Cs	1,98	6,14	0,0247	0,0209	0,0148	0,005	0,0165	В, 78 К
α-Fe	7,86	2,87	2,33	1,35	1,18	0,49	1,68	Б
K	0,85	5,32	0,037	0,031	0,019	0,005	0,03	Б
Li	0,53	3,51	0,135	0,114	0,088	0,02	0,12	В
Mo	10,2	3,15	4,63	1,61	1,09	1,51	2,62	Б
Na	0,97	4,29	0,0768	0,0645	0,0434	0,006	0,686	Б
Nb	8,58	3,30	2,47	1,35	0,287	0,56	1,73	А
Rb	1,53	5,70	0,0241	0,021	0,0095	0,0016	0,622	Г
Ta	16,7	3,30	3,61	1,57	0,818	0,52	1,92	Б
V	6,02	3,62	2,29	1,19	0,432	0,55	1,56	Б
W	19,3	3,62	5,23	2,05	1,61	1,59	3,11	Б

Рис. 4.12. Пределы статической устойчивости для упругих параметров металлов с кубичекой решеткой. Область устойчивости соответствует квадрату К/µ>-4/3 , µ´/µ>0. Обозначены пределы динамической устойчивости К/µ>-4/3 , µ´/µ>0. Отмечены линии, соответствующие соотношениям µ´=µ (изотропия), с₁₂ = с₄₄ (соотношение Коши), с₁₂ = - с₄₄ (условие разделения уравнения движения для трех компонент). Точка I соответствует статически неустойчивой модели (4.47), для которой К/µ=-1/3, µ´/µ=1; точка II соответствует параметрам металла с ГЦК-решеткой с чисто продольными связями между ближайшими соседями, для которого К/µ = 2/3, µ´/µ=1/2.

Рис. 4.13. Параметры теории упругости металлов с кубической симметрией.