4.4 Кубическая симметрия

4.4.1 Тензор упругих модулей с

В СЛУЧАЕ КУБИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ

Если, исходя из соотношений

σ = С ε, σ_ik = С_{ik, mn} ε_mn или σ^μ = (T(μ), CT(ν))ε^ν = C^μνε^ν,

подвергнуть кристалл операции поворота, то соотношение между σ и ε изменится, коль скоро поворот не является операцией симметрии, переводящий тензор С самого в себя. Если обозначить знаком «тильда» любой из 48 поворотов D, соответствующих кубической симметрии (поскольку тензор четного ранга инвариантен по отношению к инверсии, достаточно рассмотреть 24 собственных поворота), для преобразованного тензора Č имеем

Č = С, Č_{ik, mn} = D_iiʹ D_kkʹ D_mmʹ D_nnʹ C_{iʹ kʹ mʹ nʹ} , (4.36)

(T(μ), ČT(ν)) = (T/(μ), CT(ν)) или также (Ť(μ), CŤ(ν)) = (T(μ), CT(ν)).

Если учесть все ограничения (4.26), что не составляет труда¹⁾, приходим к следующим соотношениям:

С_{ik, mn} = С₁₂δ_ikδ_mn + C₄₄ (δ_imδ_kn + δ_inδ_km) + (C₁₁ - C₁₂ – 2C₄₄) δ_ikmn, (4.37)

С = С₁₂А₁ + С₄₄А₂ + (C₁₁ - C₁₂ – 2C₄₄)А₃,

где C₁₁ - C₁₂ – 2C₄₄ = С_а, δ_ikmn = 1, если все индексы одинаковы и δ_ikmn = 0в иных случаях. В представлении Фойгта

С_αβ = (4.37а)

Два первых члена А²_,2 в (4.37) изотропны (инвариантны относительно любых поворотов), а третий член А₃, соответствует кубической симметрии (инвариантен по отношению к поворотам, отвечающим кубической симметрии). Если

С_а = C₁₁ - C₁₂ – 2C₄₄ = 0 – условие изотропности

(С_а –мера анизотропии), (4.38)

то кристалл изотропен³.Кубические кристаллы имеют 3 независимых параметра теории упругости, а изотропные кристаллы – 2. В силу требования упругой устойчивости собственные значения матрицы (4.37а) должны быть положительны,

C₁₁ + 2C₁₂ >0, 1 x; C₁₁ - C₁₂ > 0, 2 x; C₄₄ > 0, 3 x (4.39)

4.4.2 Собственные тензоры

И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Схема Фойгта не очень наглядна; в частности, величины С_αβ пока не имеют непосредственного физического смысла. Наиболее удобным и наглядным для наших целей является базис T(ν) (4.12 – 4.14), поскольку он связан с кубической симметрией, а матрица C^μν оказывается диагональной

C^μν = δ_μν, Σ; ;

С = T(ν) C^νμ T(μ) = СТ(μ) = Т(β), Σ (4.40)

Это можно легко усмотреть из поведения состояний T(ν) при кубических поворотах, некоторые из которых описаны в табл. 4.1. Эти результаты можно получить, обратившись к рис. 4.5. Первый столбец показывает, что состояния 1, 2, 2^ʹ, 2ʹʹ, 3, 4 – собственные состояния оператора поворота на угол π вокруг оси [100]с собственным значением 1, а состояния 5, 6 соответствуют собственным значениям (-1), поэтому

С¹⁵ = (Т(1), СТ(5)) = (Ť(1), СŤ(5)) = -(Т(1), СТ(5)) = -С¹⁵ = 0.

Из анализа табл. 4.1 можно усмотреть, что тензор C^μν диагонале⁴. Из 2-го столбца следует, что Ť(6) = Т(5) и поэтому

= С⁶⁶ = (Т(6), СТ(6)) = (Ť(6), СŤ(6)) = С⁵⁵ =

Аналогично, далее С²² = С^{2ʹ 2ʹ} = С^{2ʹʹ 2ʹʹ}, С^22ʹ = С^{2ʹ 2ʹʹ} = С^{2ʹʹ 2}.

То, что , можно также усмотреть из соотношения

С³³ = (С^{2ʹʹ 2ʹʹ} + С^{2ʹ 2ʹ} - С^{2ʹʹ 2ʹ} - С^{2ʹ 2ʹʹ})/3 = (2С²² - С^22ʹ - С^22ʹʹ)/3 = С²²,

если учесть исходя из равенства Т(2^ʹ ) + Т(2^ʹʹ ) = -Т(2), что С^22ʹ + С^22ʹʹ = С^{2, 2ʹ + 2ʹʹ} = -С²².

Тогда из (4.40) явствует, что T(ν) – собственные состояния (тензоры 2-го ранга) тензора 4-го ранга С, соответствующие собственным значениям , и, конечно, удобнее всего выразить С через собственные состояния и собственные значения. Соотношения (4.40), кроме того, указывает, что сдвиговые деформации и сдвиговые напряжения, а также растяжение и давление непосредственно связаны друг с другом:

σ^μ = ε^μ, Σ. (4.40а)

Очевидно, в случае кубической симметрии тензор С имеет 3 независимых модуля, т.е. 3 независимых собственных значения

В изотропном случае С описывают 2 независимых модуля, так что поскольку связь между сдвиговыми напряжениями и деформациями не может зависеть от конкретного вида сдвига. Тензор упругих податливостей принимает вид

S = , (4.40б)

Таблица 4.1. Преобразования базисных тензоров T(ν) при операциях кубической симметрии

Ось	[100]			[010]		[001]
Угол поворота	π	π/2	π		π/2	π	π/2
Преобразование (xyz) ( = -x)

T(ν) переходит в ν =	1	T(1)	T(1)	T(1)	T(1)	T(1)	T(1)
	2	T(2)	-T(2ʹʹ)	T(2)	-T(2ʹ)	T(2)	-T(2)
	2ʹ	T(2ʹ)	- T(2ʹ)	T(2ʹ)	- T(2)	T(2ʹ)	- T(2ʹʹ)
	2ʹʹ	T(2ʹʹ)	- T(2)	T(2ʹʹ)	- T(2ʹʹ)	T(2ʹʹ)	-T(2ʹ)
	3	T(3)	---	T(3)	---	T(3)	T(3)
	4	T(4)	-T(4)	-T(4)	T(6)	-T(4)	-T(5)
	5	-T(5)	-T(6)	T(5)	-T(5)	-T(5)	T(4)
	6	-T(6)	T(5)	-T(6)	-T(4)	T(6)	-T(6)

и условие упругой устойчивости просто означает, что

, ср. (4.39), (4.41)

поскольку (ε, Сε) = .

Физический смысл величин ясен из соотношения (4.40а) и демонстрируется на рис. 4.10. Картина, соответствующая тензору Т(1), приведена на рис. 4.10а; картины напряжений и деформаций одинаковы, они различаются лишь множителем . Соответственно имеем или

Рис.4.10. Физический смысл собственных значений С. а – картина, соответствующая тензору Т(1),

б – картина сдвига Т(5)

Где К называется модулем всестороннего сжатия, или объемным модулем. На рис. 4.10, б приведена картина сдвига Т(5). Отношение сдвигового напряжения и угла сдвига, в данном случае равное называется модулем сдвига µ для сдвигов (100). Для сдвигов (110) ситуация аналогичная, причем соответствующий модуль обозначается через µ´. Связь между модулями Фойгта С_αβ и собственными значениями дается соотношениями

(4.42)

и (4.12-4.14), которые выражают тензоры Т(ν) через тензоры V(α).

В конечном счете

K – модуль всестороннего сжатия, (4.43а)

µ´ - модуль сдвига для сдвигов (110) (4.43б)

µ - модуль сдвига для сдвигов (110) (4.43в)

(4.43г)

Если ввести операторы проектрирования p^k, p^µ´, p^µ на состояния Т(1), Т(2) и Т(3), Т(4) и Т(5) и Т(6), где p^k отбирает растяжения, а p^µ´, p^µ - соответствующие сдвиги, можно написать

Сравнивая с (4.37) (С = с₁₂А₁ + с₄₄А₂ + (с₁₁ - с₁₂ - 2с₄₄)А₃), получаем соотношения

А₁=3p^k; A₂=2; A₃=1 - p^µ .

Следовательно,

С=(с₁₁ + 2с₁₂)p^k + (c₁₁-c₁₂)p^µ´+2c₄₄p^µ,

что устанавливает связь между s_αβ и с_αβ.

Смысл описанного выше представления С весьма прозрачен; оно более наглядно, чем представление Фойгта, и мы будем пользоваться им далее при анализе кубических кристаллов. Полезным применением этого нового представления является вычисление так называемых средних Фойгта. Оно состоит в усреднении С по всем ориентациям кристалла; получающийся в результате тензор изотропен. Считается, что он приближенно описывает упругие модули поликристаллов, которые изотропны. Для кубических кристаллов это среднее можно без труда вычислить исходя из (4.44а). поскольку величина p^k инвариантна Далее ясно, что для сдвиговых компонент величина не должна зависеть от ν и равна (1-p^k)/5, где (1-p^k)= p^s отбирает все сдвиги. Поэтому

И

где (4.45)

(4.45а)

представляет собой среднее взвешенное от двух кубических модулей сдвига; веса 2 и 3 соответствует размерностям пространств сдвигов p^µ´, p^µ. Легко показать, что значения К для монокристаллов и поликристаллов равны. Но среднее Фойгта дает только приближенное значение для модуля сдвига изотропного поликристалла µ^эфф. В действительности есть верхний предел для этой величины. Нижний же предел устанавливается так называемыми средними Рейсса, равными

Более подробно эти предельные значения будут рассматриваться в разд. 4.8.7.