
- •Математическая статистика
- •1. Статистическая модель и задачи математической статистики
- •2. Способы представления статистических данных.
- •3. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •4. Гистограмма и полигон частот.
- •5. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики
- •6. Оценивание неизвестных параметров распределений
- •6.1. Точечные оценки неизвестных параметров распределений и требования, предъявляемые к ним
- •Несмещенность
- •Состоятельность
- •6.2. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •6.3. Методы нахождения точечных оценок
- •6.3.1. Метод моментов
- •6.3.2. Метод максимального правдоподобия
5. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики
Пусть
- выборка из генеральной совокупности,
имеющей функцию распределения
.
Аналогично тому, как теоретической
функции распределения
ставят в соответствие эмпирическую
функцию распределения
,
любой теоретической числовой характеристике
можно поставить в соответствие ее статистический аналог - выборочную (эмпирическую) числовую характеристику g*, определяемую равенством:
.
С
учетом того, что эмпирическая функция
распределения
является функцией распределения
выборочной
дискретной
случайной величины
,
принимающей значения
(различные среди выборочных значений
)
с вероятностями
соответственно, то
.
Таким
образом, выборочная числовая характеристика
,
соответствующая теоретической числовой
характеристике
,
есть
среднее арифметическое значений функции
g(х)
для элементов выборки
.
В
частности, если
,
то величина
называется
выборочным
начальным моментом
-го
порядка. При k
= 1 величину
,
соответствующую теоретическому
математическому ожиданию
,
называют выборочным
средним
и обозначают
:
.
Если
,
то величина
называется
выборочным
центральным
моментом
-го
порядка. При
величину
,
соответствующую теоретической дисперсии
,
называют
выборочной
дисперсией
и
обозначают
:
.
Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство
,
являющееся аналогом известного равенства
.
Действительно,
.
Все
выборочные числовые характеристики,
рассчитанные по заданной выборке,
являются числами. Но они могут изменяться
случайным образом от выборки к выборке,
чем принципиально отличаются от
теоретических числовых характеристик.
Поэтому для выявления общих свойств,
не зависящих от конкретной выборки,
выборочные числовые характеристики
следует рассматривать как случайные
величины, получаемые заменой
на
- копии наблюдаемой случайной величины
.
Используемые при этом обозначения:
;
;
;
;
.
Таким образом, можно ставить вопрос о нахождении закона распределения выборочных числовых характеристик и их числовых характеристиках.
В
дальнейшем мы покажем, что при
,
и, следовательно, неизвестные и можно приближенно определить (оценить) по выборке (тем точнее, чем больше ):
,
6. Оценивание неизвестных параметров распределений
Ранее было показано, что значения эмпирической функции распределения в каждой точке можно рассматривать в качестве оценки значений в этой точке теоретической функции распределения, а различные выборочные моменты можно рассматривать как оценки соответствующих теоретических моментов. При этом в термин «оценка» вкладывался определенный асимптотический (при ) смысл: при большом объеме выборки значительная разница между эмпирическими (выборочными) и теоретическими характеристиками маловероятна.
Однако на практике, как правило, имею дело с ограниченным объемом выборки. Теория оценивания неизвестных параметров распределений посвящена обоснованию рекомендаций с точки зрения каких-либо критериев оптимальности для построения приближенных значений различных теоретических характеристик изучаемой модели и общие методы решения подобных задач.
Пусть
имеется выборка
,
представляющая собой результат
независимых наблюдений над некоторой
случайной величиной
с функцией распределения
.
Предположим, что тип распределения
генеральной совокупности известен, но
зависит от неизвестного параметра
(скалярного или векторного), то есть
задана параметрическая статистическая
модель наблюдений:
.
В общем случае задача оценивания
формулируется так: используя информацию,
доставляемую выборкой
,
сделать статистические выводы об
истинном значении неизвестного параметра
,
т.е. оценить параметр
.
Различают точечные и интервальные оценки неизвестных параметров.