5. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики

Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения . Аналогично тому, как теоретической функции распределения ставят в соответствие эмпирическую функцию распределения , любой теоретической числовой характеристике

можно поставить в соответствие ее статистический аналог - выборочную (эмпирическую) числовую характеристику g*, определяемую равенством:

.

С учетом того, что эмпирическая функция распределения является функцией распределения выборочной дискретной случайной величины , принимающей значения (различные среди выборочных значений ) с вероятностями соответственно, то

.

Таким образом, выборочная числовая характеристика , соответствующая теоретической числовой характеристике , есть среднее арифметическое значений функции g(х) для элементов выборки .

В частности, если , то величина

называется выборочным начальным моментом -го порядка. При k = 1 величину , соответствующую теоретическому математическому ожиданию , называют выборочным средним и обозначают :

.

Если , то величина

называется выборочным центральным моментом -го порядка. При величину , соответствующую теоретической дисперсии , называют выборочной дисперсией и обозначают :

.

Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство

,

являющееся аналогом известного равенства

.

Действительно,

.

Все выборочные числовые характеристики, рассчитанные по заданной выборке, являются числами. Но они могут изменяться случайным образом от выборки к выборке, чем принципиально отличаются от теоретических числовых характеристик. Поэтому для выявления общих свойств, не зависящих от конкретной выборки, выборочные числовые характеристики следует рассматривать как случайные величины, получаемые заменой на - копии наблюдаемой случайной величины . Используемые при этом обозначения:

; ; ;

; .

Таким образом, можно ставить вопрос о нахождении закона распределения выборочных числовых характеристик и их числовых характеристиках.

В дальнейшем мы покажем, что при

,

и, следовательно, неизвестные и можно приближенно определить (оценить) по выборке (тем точнее, чем больше ):

,

6. Оценивание неизвестных параметров распределений

Ранее было показано, что значения эмпирической функции распределения в каждой точке можно рассматривать в качестве оценки значений в этой точке теоретической функции распределения, а различные выборочные моменты можно рассматривать как оценки соответствующих теоретических моментов. При этом в термин «оценка» вкладывался определенный асимптотический (при ) смысл: при большом объеме выборки значительная разница между эмпирическими (выборочными) и теоретическими характеристиками маловероятна.

Однако на практике, как правило, имею дело с ограниченным объемом выборки. Теория оценивания неизвестных параметров распределений посвящена обоснованию рекомендаций с точки зрения каких-либо критериев оптимальности для построения приближенных значений различных теоретических характеристик изучаемой модели и общие методы решения подобных задач.

Пусть имеется выборка , представляющая собой результат независимых наблюдений над некоторой случайной величиной с функцией распределения . Предположим, что тип распределения генеральной совокупности известен, но зависит от неизвестного параметра (скалярного или векторного), то есть задана параметрическая статистическая модель наблюдений: . В общем случае задача оценивания формулируется так: используя информацию, доставляемую выборкой , сделать статистические выводы об истинном значении неизвестного параметра , т.е. оценить параметр .

Различают точечные и интервальные оценки неизвестных параметров.