Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении случайной величины

Для определения доверительного интервала случайной величины, распределенной по симметричному закону, близкому к нормальному, используется распределение Стьюдента. При несимметричном законе применяют распределение Пирсона или распределение ².

Дифференциальная функция распределения ² имеет вид:

Распределение ² зависит от одного параметра r, называемого числом степеней свободы.

Составлены специальные таблицы распределения ², пользуясь которыми, можно по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы r найти значение квантиля распределения ².

При экспоненциальном законе распределения отказов оценки параметров

,   ,                                       (3.64)

где n – число отказов в интервале времени

 – суммарная наработка.

Для неремонтируемых элементов (объектов)

                                        (3.65)

где  – время исправной работы i-го отказавшего элемента (объекта);

N – количество объектов;

 – время испытаний;

n – число отказавших объектов.

В случае, когда испытания проводятся до тех пор, пока не откажут все выставленные на испытания объекты, суммарная наработка

                                                    (3.66)

Для ремонтируемых объектов

                                                 (3.67)

где  – длительность испытаний.

Доверительный интервал для интенсивности отказов, в этом случае, находится с помощью таблицы ², в которой параметрами являются доверительная вероятность и число степеней свободы r.

Нижняя  и верхняя  границы интенсивностей отказов:

, где                                  (3.68)

, где                               (3.69)

В формулах:  – квантили распределения при числе степеней свободы

,  – коэффициенты.

 

Определение доверительных интервалов при отсутствии отказов

Пусть производятся испытания какого-либо изделия на безотказность работы. Вероятность отказа очень мала. В результате испытаний изделие не отказало ни разу. Найти максимальную, практически возможную, вероятность отказа.

Поставим эту задачу в общем виде. Произведено n независимых опытов, ни в одном из которых событие А не произошло. Задана доверительная вероятность , требуется построить доверительный интервал для вероятности Р события А, точнее найти его верхнюю границу Р₂, так как нижняя граница Р₁ равна нулю.

В результате n опытов наблюдается противоположное событие В, состоящее в том, что событие А не появилось ни разу. Вероятность этого события определяется по формуле Бернулли при m = 0, где m – число появлений события В.

,

Получим уравнение для вероятности P₂:

откуда .                                                                                          (3.70)

 

Обратная задача.

Событие А с малой вероятностью ни разу не наблюдалось в серии из n опытов. Задана доверительная вероятность . Каково должно быть число опытов, чтобы верхняя доверительная граница для вероятности события была равна заданному значению Р₂.

Из формулы (3.70) получим

                                                   (3.71)