Критерии согласия. Критерий Пирсона

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о том, что статистическое распределение согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным, Вейбулла и т. д.)

Имеется несколько критериев согласия: Колмогорова, Пирсона и т. д.

Критерий Пирсона не требует построения самого закона распределения. Достаточно задаться только общим видом функции F(t), а входящие в нее числовые параметры определяются по данным эксперимента.

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина принимает определенное значение. Результаты опытов оформлены в виде статистического ряда с числом разрядов К.

 

			…
			…
			…

 

n – общее число значений случайной величины;

n_i – число значений в i-ом разряде;

 – статистическая вероятность i-ом разряде.

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой, что случайная величина Х имеет данный закон распределения. Этот закон распределения называется теоретическим. Из теоретического закона определяются теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый разряд:

Сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении теоретических и статистических вероятностей.

В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину

                        (3.72)

Эта величина при стремится к закону распределения с r степенями свободы. Число степеней свободы находят по равенству

,                                            (3.73)

где  k – число интервалов;

s – число параметров предполагаемого распределения, которые вычислены по экспериментальным данным.

Если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Поэтому s = 2 и число степеней свободы

Если статистические данные распределены по экспоненциальному закону, то оценивают параметр , поэтому s = 1 и

Пользуясь таблицами распределения  можно для вычисленной по формуле (3.72) меры расхождения и числа степеней свободы r найти вероятность P того, что величина, распределенная по закону  превзойдет эту меру. Если эта вероятность мала, меньше или равна 0,1, событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным.

Гипотезу о том, что закон распределения X есть F(x) следует считать неправдоподобной. Если же вероятность Р больше 0,1, гипотезу о том, что величина X распределена по закону F(x) следует считать правдоподобной, не противоречащей опытным данным.

Последовательность операций при использовании критерия Пирсона.

1. Определяется мера расхождения опытного и теоретического закона

где n_i – количество значений случайной величины в i-ом интервале;

n – общее число значений случайной величины;

 – частота повторения событий или статистическая вероятность в i-ом интервале.

 – теоретическая вероятность события в i-ом интервале (из теоретической кривой);

k – число разрядов (интервалов);

 – наблюдаемое значение критерия.

2. Определяется число степеней свободы распределения  по формуле

.

3. Пользуясь таблицами распределения , возможно для значения , вычисленного в пункте 1 и числа степеней свободы r определить вероятность Р. Если эта вероятность мала (Р  0,1), гипотеза о совпадении опытного и теоретического законов отбрасывается. Если Р > 0,1, гипотезу можно принять не противоречащей опытным данным.