3 Расчет электрических цепей несинусоидального тока

3.1 Основные теоретические положения

Расчёт линейных электрических цепей с несинусоидальными периодическими источниками питания распадается на три этапа:

а) Разложение периодических несинусоидальных функций времени (ЭДС и токов источников тока) в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье представляет собой ортогональную многомерную систему координат:

где A₀ – постоянная составляющая, B_km и C_km – амплитуды синусной и косинусной гармонических составляющих:

, , .

Первая гармоническая составляющая с циклической частотой ω (при k=1) и периодом T самой несинусоидальной функции называется основной гармоникой, а гармоники, начиная со второй и выше, – высшими гармоническими составляющими.

б) Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений на элементах цепи для постоянной составляющей и для каждой из гармонических составляющих в отдельности. Расчет токов и напряжений для каждой гармонической составляющей проводят комплексным методом. При этом необходимо помнить, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных гармоник изменяются. Индуктивное сопротивление с ростом частоты увеличивается, а емкостное уменьшается. Индуктивное и емкостное сопротивления k-той гармонической составляющей:

, .

Недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных гармонических составляющих.

в) Получение итоговых результатов по результатам расчета для постоянной и отдельных гармонических составляющих. Результатами расчетов, как правило, являются мгновенные и действующие значения токов и напряжений, а также активная и полная мощности элементов электрической цепи.

Мгновенные значения токов и напряжений получают как сумму мгновенных значений постоянной и гармонических составляющих, например:

.

Действующие значения токов и напряжений получают согласно тождеству Парсеваля (аналог теоремы Пифагора для многомерного ортогонального пространства):

,

.

Активная мощность элемента электрической цепи равна сумме активных мощностей постоянной и гармонических составляющих

, где

Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока элемента электрической цепи

.

3.2 Примеры расчета электрических цепей с несинусоидальными эдс и токами

Задача 3.2.1 В электрической цепи (см. рисунок 3.1) заданы мгновенные значения несинусоидальной ЭДС , значение источника постоянной ЭДС E₀=50В, активное R=100Ом и реактивные сопротивления для первой гармоники: , , .

Рисунок 3.1 – Схема электрической цепи

Требуется определить: действующие и мгновенные значения токов в ветвях схемы, действующее и мгновенные значения напряжения на емкости.

Решение.

Расчёт постоянных составляющих токов и напряжения на емкости:

I₂₀=0, так как при u_C(t) = const;

;

, так как и .

Расчёт составляющих токов и напряжения на емкости для первой гармоники:

;

комплексное сопротивление участка «1-2» цепи

(резонанс токов на 1^-ой гармонике);

, ;

Расчёт для второй гармоники:

;

;

(резонанс напряжений на 2^-ой гармонике);

согласно первому закону Кирхгофа ;

.

Расчёт действующих значений токов и напряжения на емкости:

Мгновенные значения токов и напряжения на конденсаторе u_C(t):

Задача 3.2.2 В электрической цепи (см. рисунок 3.2) задано:

; ; ;

.

Рисунок 3.2 – Схема электрической цепи

Требуется:

1. определить емкости конденсаторов С₁ и С₂ такие, чтобы ток в резисторе R₂ был равен нулю. Причем емкость конденсатора С₁ должна быть меньше чем С₂;

2. рассчитать показание амперметра электромагнитной системы (т.е. действующее значение тока в индуктивности L₁);

3. рассчитать активную P_ист., реактивную Q_ист., и полную S_ист. мощности источника.

Решение.

1. Определим емкости С₁ и С₂.

На 1^-ой гармонике должен быть резонанс напряжений в контуре L₂C₂, а на 2^-ой гармонике – резонанс токов в контуре L₁C₁. Индуктивность L₃ шунтирует резистор R₂ на постоянном токе. В результате получим ток в резисторе R₂, равный нулю.

Определим реактивные индуктивные сопротивления на 1^-ой и 2^-ой гармониках:

;

2. Определим ток в индуктивности на всех гармониках :

Для постоянной составляющей:

.

Для первой гармоники: так как ;

;

Для второй гармоники: , так как .

,

.

Действующее значение тока в индуктивности :

.

3. Рассчитаем мощности источника:

;

, где

Задача 3.2.3 В электрической цепи (см. рисунок 3.3) задано:

;

.

Рисунок 3.3 – Схема электрической цепи

Определить:

1. мгновенные и действующие значения токов i₁, i₂, i₃ и напряжения на конденсаторе u_c;

2. мощность, выделяемую в сопротивлении R₁.

Решение.

Постоянные составляющие:

.

На основной и 2^-ой гармониках цепь содержит один источник e₁(t).

(резонанс токов), тогда .

Для 2^-ой гармоники сопротивление третьей ветви равно нулю:

(резонанс напряжений),

тогда .

.

Находим мгновенные и действующие значения токов и напряжения на конденсаторе:

Задача 3.2.4 При подаче на вход некоторого пассивного двухполюсника несинусоидального напряжения были измерены действующее значение входного тока I = 5A, а также активная P = 40Вт и реактивная мощности Q = 30вар, потребляемые двухполюсником. После этого эксперимент был повторен при действии другого входного напряжения, в котором был сохранен прежний гармонический состав, а также амплитуды и начальные фазы гармоник, но частота основной гармоники была удвоена по сравнению с первым экспериментом. При этом оказалось, что действующее значение тока, активная и реактивная мощности сохранили прежние значения.

Требуется записать аналитические выражения мгновенных значений тока двухполюсника, как для первого, так и для второго экспериментов, если известно, что начальные фазы различных гармоник тока могут отличаться только на угол, не достигающий 90°. Что можно сказать о внутренней схеме двухполюсника для объяснения полученных результатов?

Решение.

В первом эксперименте ток может содержать первую и вторую гармоники: ,

а во втором – вторую и четвертую гармоники:

.

При этом вторая гармоника одинакова в обоих случаях. Тогда можно составить выражения для активной и реактивной мощностей и действующего значения тока в обоих экспериментах:

Вт; (3.1)

вар; (3.2)

А²; (3.3)

Вт; (3.4)

вар; (3.5)

А². (3.6)

Из уравнений (3.3) и (3.6) видно, что . Также из сравнения выражений (3.1) с (3.4) и (3.2) с (3.5) видно, что .

Далее, используя выражения (3.1) и (3.2) (или (3.4) и (3.5)), составим сумму откуда после сокращения на 10 получим:

, или

.

Так как , то получим .

Отсюда имеем три варианта: либо , либо , либо . В последнем случае , что противоречит условию задачи о том, что сдвиг фаз не должен достигать 90°. Поэтому остаются только два варианта: (в этом случае также ), либо .

Оба эти варианта удовлетворяют условию задачи, поэтому имеем два решения:

• в случае как для первого, так и для второго экспериментов имеем

А,

• в случае имеем для первого эксперимента

А,

• для второго эксперимента

А.

Полученный результат можно объяснить тем, что в первом случае схема двухполюсника содержит два последовательно соединенных параллельных LC-контура резонанса токов, настроенных на первую и четвертую гармоники, а во втором случае – один такой контур, настроенный на вторую гармонику.

Задача 3.2.5 В электрической цепи (см. рисунок 3.4) задано:

Рисунок 3.4 – Схема электрической цепи

Требуется определить:

1. емкость конденсатора, при которой цепь будет находиться в режиме резонанса на 2^-ой гармонике;

2. показания приборов в этом режиме.

Решение.

Расчет постоянной составляющей.

, так как в ветви находится конденсатор,

,

Расчет второй гармоники.

Приведем два варианта расчета емкости:

1^-ый вариант.

Определим проводимости второй и третьей ветвей по условию резонанса Im{Y₂+Y₃}=0.

Запишем уравнение для проводимости второй ветви. Умножим дробь на сопряженное знаменателю выражение и выделим действительную и мнимую части. Рассчитываем значение емкости конденсатора.

;

;

;

.

2^-ой вариант.

Запишем эквивалентное сопротивление для исходной схемы. Преобразуем и выделим действительную и мнимую части.

.

По условию резонанса:

, ;

.

Для дальнейших расчетов схему удобно представить в преобразованном виде. Эквивалентная преобразованная схема приведена на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 – Эквивалентная схема электрической цепи

Активные сопротивления эквивалентной схемы:

,

Ток и активная мощность источника на 2^-ой гармонике:

.

Реактивная мощность источника равна нулю, так как на второй гармонике схема находится в режиме резонанса (Im{Y_вх}=0) .

Напряжение второй гармоники на участке 2-3 схемы:

.

Токи во второй и третьей ветвях найдем по исходной схеме:

Активная мощность нагрузки на второй гармонике:

.

Баланс активных мощностей источника и нагрузки на второй гармонике выполняется: .

Рисунок 3.6 – Векторная диаграмма цепи на второй гармонике

Определим показания приборов.

Показание ваттметра:

Показание амперметра:

.

Показание вольтметра:

.