1 Расчет электрических цепей постоянного тока

1.1 Основные теоретические положения

1.1.1 Методы эквивалентных преобразований.

Замена нескольких последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным: .

Напряжение при последовательном соединении распределяется прямо пропорционально этим сопротивлениям:

,

Замена нескольких параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным: Для двух сопротивлений:

Токи в ветвях с параллельным соединением двух сопротивлений:

Формулы преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений и наоборот:

; ; ;

; ; .

1.1.2 Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока.

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю: .

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на элементах любого замкнутого контура электрической цепи, исключая ЭДС, равна алгебраической сумме ЭДС этого же контура: . Напряжения на линейных резисторах заменяют произведением на основании закона Ома для участка цепи.

Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа в систему уравнений выбирают независимые контуры, не содержащие источников тока.

Метод контурных токов

Уравнения по методу контурных токов записываются в виде:

где – собственное сопротивление контура m, равное сумме сопротивлений ветвей, входящих в контур m;

– общее сопротивление контуров m и р, равное сумме сопротивлений смежных ветвей контуров m и р;

– напряжение на сопротивлении общей ветви контура р и контура n , содержащего источник тока ;

– алгебраическая сумма ЭДС контура р.

Метод узловых потенциалов

Потенциал одного из узлов принимают равным нулю. Для определения потенциалов остальных узлов составляют систему уравнений:

где – собственная узловая проводимость узла р, равная сумме проводимостей ветвей, присоединенных к узлу р;

– общая узловая проводимость узлов р и m, равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы р и m;

– алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу р на проводимости этих ветвей;

– алгебраическая сумма токов источников тока, присоединённых к узлу р.

Если электрическая схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Е и с сопротивлением, равным нулю, то при составлении уравнений по методу узловых потенциалов к нулю приравнивают потенциал одного из узлов, к которому присоединена данная ветвь. Тогда потенциал другого узла этой ветви будет равен +E или –E, в зависимости от направления ЭДС.

1.2 Примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Задача 1.2.1 В электрической цепи (см. рисунок 1.1) задано:

1. ;

2. показания амперметров: ;

3. мощность источников ЭДС

Требуется определить:

1. значения и направления токов в ветвях электрической цепи;

2. значения резисторов R₁, R₂, R₃.

Рисунок 1.1 – Схема электрической цепи

Решение.

Определим направления токов I₁, I₃.

Ток I₁ должен быть направлен противоположно направлению Е₁, а ток I₃ совпадать с направлением Е₃, тогда

Преобразуем треугольник с одинаковыми сопротивлениями R₄=R₅ =R₆ = R = 6Ом в эквивалентную звезду сопротивлений. Сопротивления лучей звезды

.

Получим эквивалентную схему, приведенную на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Схема эквивалентной электрической цепи

Определим напряжение . Для простоты положим, что . Тогда , .

Это равенство выполняется при любом конечном значении R₂ (при ).

Сопротивления R₁ и R₃ определяют из закона Ома для участка цепи:

Определим потенциалы :

;

;

.

Вернемся к исходной схеме и определим токи I₄, I₅, I₆:

и направлен от узла 2. к. узлу 3, т.к. .

и направлен от узла 4 к узлу 3 .

и направлен от узла 4 к узлу 2 .

Задача 1.2.2 В электрической цепи (см. рисунок 1.3) заданы значения всех сопротивлений: ; ; ; , также известно значение напряжения U_ab=100В.

Требуется:

1. определить значения токов в ветвях электрической цепи;

2. проверить выполнение баланса мощностей источников и нагрузки.

Рисунок 1.3 – Схема электрической цепи

Решение.

Примем φ₁=0, тогда . Составим систему уравнений методом узловых потенциалов для узлов a и b:

(1.1)

Подставим значения сопротивлений и потенциалов:

(1.2)

Упростим систему уравнений (1.2). Для этого умножим второе уравнение на 1,6 и вычтем его из первого, получим:

(1.3)

, где =U_ab =100В.

Найдем потенциалы узлов a и b, подставив в систему уравнений (1.3) найденное значение ЭДС Е =120В:

, .

Потенциалы остальных узлов:

.

Определим токи в ветвях схемы по закону Ома для участка цепи:

Токи в источниках ЭДС E определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа:

Проверим выполнение уравнения баланса мощностей источников и нагрузки:

Задача 1.2.3 В электрической цепи (см. рисунок 1.4) заданы значения всех сопротивлений и ЭДС: , , , .

Требуется:

1. определить значения токов в ветвях электрической цепи;

2. проверить выполнение баланса мощностей источников и нагрузки.

Рисунок 1.4 – Схема электрической цепи

Решение.

Преобразуем схему, заменив параллельно соединенные сопротивления одним сопротивлением, последовательно соединенные источники ЭДС одним:

, .

Получим эквивалентную схему, приведенную на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Схема эквивалентной электрической цепи

Рассчитаем потенциалы узлов, используя метод узловых потенциалов:

Определители системы уравнений:

; ; .

Потенциалы узлов φ₃ и φ₄:

; .

Токи в ветвях электрической цепи по закону Ома:

.

Вернувшись к первоначальной схеме, определим оставшиеся токи:

; .

Проверим выполнение баланса мощностей источников и нагрузки:

Задача 1.2.4 В электрической цепи (см. рисунок 1.6) заданы значения резисторов и показания амперметров и .

Требуется определить:

1. значения сопротивления резистора R₄ и ЭДС E;

2. значения токов в резисторах R₂ и R₃;

3. как изменить значение сопротивление резистора R₄, чтобы амперметр A₁ показал ток, равный 5А.

Рисунок 1.6 – Схема электрической цепи

Решение.

Заменим два параллельно соединенных сопротивления R₂ и R₃ одним эквивалентным:

.

Определим сопротивление резистора R₄, используя показания амперметров, первый закон Кирхгофа и закон Ома:

; ;

.

Определим значение ЭДС из уравнения по второму закону Кирхгофа:

.

Определим токи в резисторах R₂ и R₃ по закону Ома или по формуле разброса тока по двум параллельным ветвям:

или ;

или .

Определим эквивалентное входное сопротивление схемы, при котором амперметр A₁ покажет ток 5А:

.

Выразим эквивалентное входное сопротивление схемы через R₄:

или .

Рассчитаем значение сопротивления резистора R₄:

, .

Задача 1.2.5 В электрической цепи постоянного тока, показанной на рисунке 1.7, заданы значения ЭДС и сопротивления резисторов:

Известны также мощности, потребляемые резисторами R₁, R₃ и R₄, соответственно и .

Рисунок 1.7 – Схема электрической цепи

Требуется найти мощность, потребляемую резистором R₂, если известно, что в частях схемы, заключенных в прямоугольники, источников нет.

Решение.

По известным значениям мощностей и сопротивлений резисторов можно рассчитать токи в резисторах I₁, I₃ и I₄:

Далее запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для показанного на рисунке 1.7 сечения схемы (при указанных направлениях токов):

.

Из этого уравнения можно получить следующие возможные значения тока I₂: .

Однако при всех значениях тока I₂, кроме значения I₂ = 4A, т.е., только при этом значении тока I₂ выполняется баланс мощностей источников и нагрузки.

Таким образом, мощность потребляемая резистором R₂:

.