9.3. Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера описывает упругое поведение материала под нагрузкой. Это следует из того факта, что в нее входит модуль упругости Е.
Таким образом, применение формулы Эйлера ограничено предельным напряжением пц, т.е. лишь в тех случаях, когда потеря устойчивости наступает в упругой области деформирования материала:
.
Обозначая
,
где imin
– радиус инерции сечения, получим
.
Величина
называется гибкостью
стержня и
зависит только от геометрических
размеров и способа закрепления стержня.
Таким образом, условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности, можно записать в виде
.
Для того чтобы выполнялось это условие, значение гибкости должно быть больше предельного значения
.
Как
видно из формулы,
зависит только от свойств материала и
для каждого материала ее величина может
быть вычислена (табл. 9.1). Для малоуглеродистой
стали, имеющей
МПа и Е=2,1
105 МПа,
формулой Эйлера можно пользоваться при
гибкости стержня большей, чем
.
Для других материалов значения предельных гибкостей сведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1
Материал |
λпред |
а, МПа |
b, МПа |
Ст.2, Ст.3 |
100 |
310 |
1,14 |
Сталь 45 |
100 |
464 |
3,26 |
Чугун |
80 |
776 |
12 |
Дерево |
110 |
29,3 |
0,194 |
Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована (рис. 9.10).
Д
ля
стержней, гибкость которых
,
потеря устойчивости происходит при
напряжениях, превышающих предел текучести
,
поэтому расчет на устойчивость выполняется
с помощью эмпирической формулы,
предложенной профессором Петербургского
института путей сообщения Ф.
Ясинским (1902 г.):
,
где а и b – эмпирически найденные для каждого материала коэффициенты (табл. 9.1).
Величина
критической силы Fкр
определяется
умножением критических напряжений на
площадь поперечного сечения
.
Для коротких стержней, гибкость которых т , где т – гибкость стержня, определенная из условия кр = т, потеря устойчивости не происходит и поэтому расчет на устойчивость не выполняют.
9.4. Расчет стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений
В основу расчета положено соображение, что если сжатый стержень теряет устойчивость, то это происходит раньше или в крайнем случае одновременно с потерей прочности. Исходя из этого, допускаемые напряжения на устойчивость должны быть меньшими, чем при расчете на прочность
,
где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений;
– допускаемые напряжения при сжатии.
Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в табл. 9.2. Эта величина заранее неизвестна, так как не определены размеры поперечного сечения стержня, а следовательно, и его гибкость. Расчет на устойчивость фактически выполняется как расчет на прочность при заданных допускаемых напряжениях методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений до выполнения рекурентного соотношения
.
Таблица 9.2
-
Гибкость λ
Коэффициент снижения допускаемых напряжений φ
Ст.2, Ст.3
Сталь 45
Чугун
Дерево
0
1,00
1,00
1,00
1,00
10
0,99
0,97
0,97
0,99
20
0,96
0,95
0,91
0,97
30
0,94
0,91
0,81
0,93
40
0,92
0,87
0,69
0,87
50
0,89
0,83
0,57
0,80
60
0,86
0,79
0,44
0,71
70
0,81
0,72
0,34
0,60
80
0,75
0,65
0,26
0,48
90
0,69
0,55
0,20
0,38
100
0,60
0,43
0,16
0,31
110
0,52
0,35
–
0,25
120
0,45
0,30
–
0,22
130
0,40
0,26
–
0,18
140
0,36
0,23
–
0,16
150
0,32
0,21
–
0,14
160
0,29
0,19
–
0,12
170
0,26
0,17
–
0,11
180
0,23
0,15
–
0,10
190
0,21
0,14
–
0,09
200
0,19
0,13
–
0,08
Величина критических напряжений, определяемых по формуле Эйлера, обратно пропорциональна гибкости стержня:
.
Стержни
одинаковых длин и с одинаковыми способами
закрепления могут иметь разные гибкости
в зависимости от их форм поперечного
сечения. Вычисляя радиус инерции сечения
или
относительный радиус инерции
,
можно провести сравнительную оценку
форм поперечных сечений стержней
на способность сопротивляться потере
устойчивости, так как чем больше
,
тем больше величина критической силы,
тем устойчивее стержень.
Таблица 9.3