
- •Сопротивление материалов
- •Основные обозначения
- •Лекция 1. Основные понятия и исходные положения
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные понятия и исходные положения
- •1.2.1. Реальный объект и расчетная схема
- •1.2.2. Основные гипотезы и допущения сопротивления материалов
- •1.2.3. Внешние силы (нагрузки)
- •1.3. Метод сечений
- •1.3.1. Внутренние силы
- •1.3.2. Понятие о напряжениях
- •1.4. Понятия о перемещениях и деформациях
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 2. Центральное растяжение (сжатие)
- •2.1. Внутренние силы при растяжении
- •2. 2. Нормальные напряжения и условие прочности
- •2.3. Механические испытания материалов при растяжении (сжатии)
- •2.4. Потенциальная энергия деформации
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 3. Теория напряженного и деформированного состояний
- •3.1. Главные площадки и главные напряжения
- •Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.
- •3.2. Виды напряженного состояния
- •3.2.1. Линейное напряженное состояние
- •3.2.2. Плоское напряженное состояние
- •Рассмотрим частные случаи плоского напряженного состояния.
- •3.2.3. Объемное напряженное состояние
- •3.3. Обобщенный закон Гука
- •3.4. Теории прочности
- •Вторая теория прочности – теория наибольших деформаций – впервые была высказана французскими учеными Мариоттом и Навье, а затем поддержана Понселе и Сен-Венаном.
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты сечений
- •4.2. Моменты инерции сечений
- •4.2.1. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4.2.2. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей
- •4.3. Главные оси инерции и главные моменты инерции
- •4.4. Моменты инерции простых сечений
- •4.4.1. Прямоугольник
- •4.4.2. Треугольник
- •4.4.3. Круг
- •4.4.4. Кольцо
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 5. Кручение прямого бруса
- •1. Построение эпюр крутящих моментов.
- •2. Напряжения в поперечном сечении.
- •3. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •5.1. Построение эпюр крутящих моментов
- •5.2. Напряжения в поперечном сечении
- •5.3. Условия прочности и жесткости при кручении вала
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 6. Плоский изгиб
- •6.1. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
- •Решение
- •6.2. Напряжения при чистом изгибе
- •6.3. Напряжения при поперечном изгибе
- •6.4. Перемещения при плоском изгибе
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 7. Перемещения в балках при чистом изгибе
- •7.1. Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе
- •7.2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки
- •7.3. Метод начальных параметров
- •7.4. Пример расчета
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 8. Сложное сопротивление
- •1. Косой изгиб.
- •2. Внецентренное растяжение (сжатие).
- •3. Кручение с изгибом.
- •8.1. Косой изгиб
- •8.2. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •8.2.1. Расчет напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
- •8.2.2. Свойства нулевой линии
- •8.2.3. Ядро сечения
- •8.3. Кручение с изгибом
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 9.Устойчивость сжатых стержней
- •2. Влияние способов закрепления концов стержня на критическую силу.
- •9.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера
- •9.2. Влияние способов закрепления концов стержня на критическую силу
- •9.3. Пределы применимости формулы Эйлера
- •9.4. Расчет стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений
- •Относительный радиус инерции
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Динамическое действие нагрузок. Усталость
- •1. Динамическое действие нагрузок.
- •10.1. Динамическое действие нагрузок
- •10.1.1. Вычисление напряжений при равноускоренном движении
- •10.1.2. Определение перемещений и напряжений при ударе
- •10.1.3. Частные случаи
- •10.2. Прочность при циклически меняющихся напряжениях
- •10.2.1. Влияние концентраций напряжений, состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность
- •10.2.2. Запас усталостной прочности и его определение
- •Вопросы для самопроверки
- •Литература
- •Оглавление
- •Вопросы для самопроверки…………………………………………………...104
9.3. Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера описывает упругое поведение материала под нагрузкой. Это следует из того факта, что в нее входит модуль упругости Е.
Таким образом, применение формулы Эйлера ограничено предельным напряжением пц, т.е. лишь в тех случаях, когда потеря устойчивости наступает в упругой области деформирования материала:
.
Обозначая
,
где imin
– радиус инерции сечения, получим
.
Величина
называется гибкостью
стержня и
зависит только от геометрических
размеров и способа закрепления стержня.
Таким образом, условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности, можно записать в виде
.
Для того чтобы выполнялось это условие, значение гибкости должно быть больше предельного значения
.
Как
видно из формулы,
зависит только от свойств материала и
для каждого материала ее величина может
быть вычислена (табл. 9.1). Для малоуглеродистой
стали, имеющей
МПа и Е=2,1
105 МПа,
формулой Эйлера можно пользоваться при
гибкости стержня большей, чем
.
Для других материалов значения предельных гибкостей сведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1
Материал |
λпред |
а, МПа |
b, МПа |
Ст.2, Ст.3 |
100 |
310 |
1,14 |
Сталь 45 |
100 |
464 |
3,26 |
Чугун |
80 |
776 |
12 |
Дерево |
110 |
29,3 |
0,194 |
Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована (рис. 9.10).
Д
ля
стержней, гибкость которых
,
потеря устойчивости происходит при
напряжениях, превышающих предел текучести
,
поэтому расчет на устойчивость выполняется
с помощью эмпирической формулы,
предложенной профессором Петербургского
института путей сообщения Ф.
Ясинским (1902 г.):
,
где а и b – эмпирически найденные для каждого материала коэффициенты (табл. 9.1).
Величина
критической силы Fкр
определяется
умножением критических напряжений на
площадь поперечного сечения
.
Для коротких стержней, гибкость которых т , где т – гибкость стержня, определенная из условия кр = т, потеря устойчивости не происходит и поэтому расчет на устойчивость не выполняют.
9.4. Расчет стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений
В основу расчета положено соображение, что если сжатый стержень теряет устойчивость, то это происходит раньше или в крайнем случае одновременно с потерей прочности. Исходя из этого, допускаемые напряжения на устойчивость должны быть меньшими, чем при расчете на прочность
,
где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений;
– допускаемые напряжения при сжатии.
Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в табл. 9.2. Эта величина заранее неизвестна, так как не определены размеры поперечного сечения стержня, а следовательно, и его гибкость. Расчет на устойчивость фактически выполняется как расчет на прочность при заданных допускаемых напряжениях методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений до выполнения рекурентного соотношения
.
Таблица 9.2
-
Гибкость λ
Коэффициент снижения допускаемых напряжений φ
Ст.2, Ст.3
Сталь 45
Чугун
Дерево
0
1,00
1,00
1,00
1,00
10
0,99
0,97
0,97
0,99
20
0,96
0,95
0,91
0,97
30
0,94
0,91
0,81
0,93
40
0,92
0,87
0,69
0,87
50
0,89
0,83
0,57
0,80
60
0,86
0,79
0,44
0,71
70
0,81
0,72
0,34
0,60
80
0,75
0,65
0,26
0,48
90
0,69
0,55
0,20
0,38
100
0,60
0,43
0,16
0,31
110
0,52
0,35
–
0,25
120
0,45
0,30
–
0,22
130
0,40
0,26
–
0,18
140
0,36
0,23
–
0,16
150
0,32
0,21
–
0,14
160
0,29
0,19
–
0,12
170
0,26
0,17
–
0,11
180
0,23
0,15
–
0,10
190
0,21
0,14
–
0,09
200
0,19
0,13
–
0,08
Величина критических напряжений, определяемых по формуле Эйлера, обратно пропорциональна гибкости стержня:
.
Стержни
одинаковых длин и с одинаковыми способами
закрепления могут иметь разные гибкости
в зависимости от их форм поперечного
сечения. Вычисляя радиус инерции сечения
или
относительный радиус инерции
,
можно провести сравнительную оценку
форм поперечных сечений стержней
на способность сопротивляться потере
устойчивости, так как чем больше
,
тем больше величина критической силы,
тем устойчивее стержень.
Таблица 9.3