Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Все лекции сопромат.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
4.12 Mб
Скачать

9.3. Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера описывает упругое поведение материала под нагрузкой. Это следует из того факта, что в нее входит модуль упругости Е.

Таким образом, применение формулы Эйлера ограничено предельным напряжением пц, т.е. лишь в тех случаях, когда потеря устойчивости наступает в упругой области деформирования материала:

.

Обозначая , где imin – радиус инерции сечения, получим .

Величина называется гибкостью стержня и зависит только от геометрических размеров и способа закрепления стержня.

Таким образом, условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности, можно записать в виде

.

Для того чтобы выполнялось это условие, значение гибкости должно быть больше предельного значения

.

Как видно из формулы, зависит только от свойств материала и для каждого материала ее величина может быть вычислена (табл. 9.1). Для малоуглеродистой стали, имеющей МПа и Е=2,1 105 МПа, формулой Эйлера можно пользоваться при гибкости стержня большей, чем

.

Для других материалов значения предельных гибкостей сведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Материал

λпред

а, МПа

b, МПа

Ст.2, Ст.3

100

310

1,14

Сталь 45

100

464

3,26

Чугун

80

776

12

Дерево

110

29,3

0,194


Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована (рис. 9.10).

Д ля стержней, гибкость которых , потеря устойчивости происходит при напряжениях, превышающих предел текучести , поэтому расчет на устойчивость выполняется с помощью эмпирической формулы, предложенной профессором Петербургского института путей сообщения Ф. Ясинским (1902 г.):

,

где а и b – эмпирически найденные для каждого материала коэффициенты (табл. 9.1).

Величина критической силы Fкр определяется умножением критических напряжений на площадь поперечного сечения .

Для коротких стержней, гибкость которых т , где т – гибкость стержня, определенная из условия кр = т, потеря устойчивости не происходит и поэтому расчет на устойчивость не выполняют.

9.4. Расчет стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений

В основу расчета положено соображение, что если сжатый стержень теряет устойчивость, то это происходит раньше или в крайнем случае одновременно с потерей прочности. Исходя из этого, допускаемые напряжения на устойчивость должны быть меньшими, чем при расчете на прочность

,

где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений;

– допускаемые напряжения при сжатии.

Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в табл. 9.2. Эта величина заранее неизвестна, так как не определены размеры поперечного сечения стержня, а следовательно, и его гибкость. Расчет на устойчивость фактически выполняется как расчет на прочность при заданных допускаемых напряжениях методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений до выполнения рекурентного соотношения

.

Таблица 9.2

 

Гибкость λ

Коэффициент снижения допускаемых напряжений φ

Ст.2, Ст.3

Сталь 45

Чугун

Дерево

0

1,00

1,00

1,00

1,00

10

0,99

0,97

0,97

0,99

20

0,96

0,95

0,91

0,97

30

0,94

0,91

0,81

0,93

40

0,92

0,87

0,69

0,87

50

0,89

0,83

0,57

0,80

60

0,86

0,79

0,44

0,71

70

0,81

0,72

0,34

0,60

80

0,75

0,65

0,26

0,48

90

0,69

0,55

0,20

0,38

100

0,60

0,43

0,16

0,31

110

0,52

0,35

0,25

120

0,45

0,30

0,22

130

0,40

0,26

0,18

140

0,36

0,23

0,16

150

0,32

0,21

0,14

160

0,29

0,19

0,12

170

0,26

0,17

0,11

180

0,23

0,15

0,10

190

0,21

0,14

0,09

200

0,19

0,13

0,08

Величина критических напряжений, определяемых по формуле Эйлера, обратно пропорциональна гибкости стержня:

.

Стержни одинаковых длин и с одинаковыми способами закрепления могут иметь разные гибкости в зависимости от их форм поперечного сечения. Вычисляя радиус инерции сечения или относительный радиус инерции , можно провести сравнительную оценку форм поперечных сечений стержней на способность сопротивляться потере устойчивости, так как чем больше , тем больше величина критической силы, тем устойчивее стержень.

Таблица 9.3