9.2. Влияние способов закрепления концов стержня на критическую силу

Вывод формулы Эйлера осуществлен для бруса с шарнирно закрепленными концами. Тем не менее эта формула имеет универсальный характер, не зависит от способа закрепления бруса и через коэффициент п учитывает число полуволн синусоиды, которые укладываются на его длине. Применим, например, эту формулу для определения критической силы бруса с заделанными концами (рис. 9.6). Как видим, число полуволн изогнутой оси в этом случае п = 2 и, следовательно, критическая сила при данных опорных устройствах равна

_. (9.3)

Этот результат можно переписать в виде

. (9.4)

Рассмотрим пример определения критической силы в случае, когда брус изгибается не по целому числу полуволн синусоиды (рис. 9.7) – брус, защемленный одним концом и шарнирно опертый другим.

Данный случай представляет собой статически неопределимую систему. Со стороны шарнирной опоры возникает горизонтальная реакция опоры R.

Изгибающий момент в произвольном сечении бруса будет равен , а дифференциальное уравнение упругой линии будет иметь вид: , или .

Общее решение этого уравнения имеет вид:

.

Используя условия на концах бруса, выразим постоянные А и В через R. При х = 0 прогиб z = 0, следовательно, В = 0. При х = l угол поворота сечения равен нулю, поэтому z'(l) = 0.

Из этого условия получаем

,

и уравнение изогнутой оси приобретает следующий вид:

.

Условие z (l) = 0 будет выполнено, если

.

Отсюда получаем следующее трансцендентное разрешающее уравнение для определения величины : .

Наименьший корень этого уравнения определяет первую критическую силу. Это уравнение решается методом подбора или графически. Наименьший, отличный от нуля, корень этого уравнения l = 4,493 = 1,43.

Принимая l = 1,43, получаем следующее выражение для критической силы

. (9.5)

Проведя подобный вывод формулы для критической силы применительно к брусу, защемленному с одной стороны (рис. 9.8), получаем следующее выражение:

Рис. 9.6 Рис. 9.7 Рис. 9. 8

. (9.6)

Сопоставляя формулы критической силы для бруса, закрепленного различным образом, легко видеть, что все они имеют одинаковое строение. Обобщая их, запишем формулу Эйлера в виде:

.

Здесь  = 1/n величина, обратная числу полуволн п синусоиды, по которой изогнется брус. Постоянная  называется коэффициентом приведения длины, а произведение l – приведенной длиной бруса. Случай шарнирного закрепления концов бруса называется основным.

О сновные случаи закрепления концов стержня и значений коэффициента приведения длины для них показаны на рис. 9.9.

Таким образом, критическая сила для любого случая закрепления бруса может быть вычислена по формуле для основного случая с заменой действительной длины бруса его приведенной длиной.