7.3. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров получил широкое применение при решении различных инженерных задач. Его разработали советские ученые Н.П. Пузыревский, Н.К. Снитко, Н.И. Безухое, А.А. Уманский и др.

Для того чтобы сократить число неизвестных произвольных постоянных интегрирования до двух, необходимо обеспечить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство будет соблюдаться, если в уравнениях моментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все силовые факторы предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на левых границах своих силовых участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрировании должны соблюдаться следующие условия:

1. Начало координат (общее для всех силовых участков) выбирается на конце балки:

• если есть заделка, то в заделке;

• если на конце есть опора, то на опоре;

• если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

2. При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша. При наличии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М(z - l)⁰, где l – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент приложен.

3. При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, она продолжается до этого конца и одновременно уравновешивается противоположно направленной нагрузкой той же интенсивности («дополнительная» и «уравновешивающая» нагрузки показываются на рисунках штриховыми линиями).

4. Интегрировать уравнение на всех участках, не раскрывая скобок.

Рассмотрим балку (рис. 7.2) с постоянным поперечным сечением, нагруженную взаимоуравновешенной системой положительных силовых факторов (т.е. вызывающих вертикальные перемещения сечений балки в положительном направлении оси z). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось x проходила вдоль оси балки, а ось z была бы направлена вверх.

На балку действуют: момент М, сосредоточенная сила F и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии, различными типами внешних силовых факторов. Для этого составим выражение изгибающих моментов для каждого из пяти участков заданной системы.

У

x

часток I ( 0 x  l₁ )  M_y (x) = 0.

Участок II (l₁  x  l₂ )  M_y (x) = M.

Участок III (l₂  x l₃ )  M_y (x) = M + F (x  l₂).

Участок IV (l₃ x l₄)  M_y (z) = M + F (x  l₂) +  .

Участок V (l₄  х  l₅) M_у (х) = M + F (х  l₂) +  .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего момента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящие перед ним, следует учитывать при х> l_i и игнорировать при х  l_i . На основании этого обобщенное выражение момента M_у (х) для произвольного сечения х может быть записано единой формулой:

M_у(х) = M +F (х  l₂)  + . (7.4)

Подставляя (7.4) в (7.3) и дважды интегрируя, получим выражение для прогибов:

E I_у z (x) = C₀ + C₁ x+ + + 

 . (7.5)

Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = E I_y z (0) , C₁ = (7.6)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий окончательный вид:

E I_y z(x) = E I_yz₀ +  x + + +

+  . (7.7)

Соответственно формула для углов поворотов сечений балки определяется из (7.7) простым дифференцированием:

E I_y  (x) =  + + + 

– . (7.8)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба z₀ , угла поворота ₀ в начале системы координат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому данный метод и называется методом начальных параметров.