Лекция 7. Перемещения в балках при чистом изгибе
Вопросы лекции:
1. Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе.
2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки.
3. Метод начальных параметров.
7.1. Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе
В предыдущей лекции были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. Однако в большинстве случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб, необходимо также производить расчет их на жесткость.
Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать допускаемых величин. Для выполнения таких расчетов необходимо научиться вычислять перемещения попереч- ных сечений балки под действием любой внешней нагрузки. Кроме того, перемещения приходится определять и при расчете статически неопределимых конструкций (балок, рам, арок и т.д.).
В основе теории деформации при изгибе лежит гипотеза плоских сечений. Учитываются деформации только от изгибающего момента, деформациями от поперечной силы пренебрегают как малыми.
С учетом принятых допущений рассмотрим деформацию балки при прямом изгибе. Под действием внешних нагрузок, расположенных в одной из главных плоскостей балки, наблюдается искривление ее оси в той же плоскости, происходит так называемый прямой изгиб. Поперечные сечения при этом поворачиваются и одновременно получают поступательные перемещения (рис. 7.1).
x
z
Рис. 7.1
Искривленная ось балки называется упругой линией.
Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается z.
Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты x и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей, например в плоскости xz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления (zmax/l = 102 …103, где zmax – максимальный прогиб; l – пролет балки).
7.2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки
В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки, являются z(x) и (x) = (x) (рис. 7.1). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты х функцию перемещений z(х) и функцию углов поворота (х). Из геометрических построений (рис. 7.1) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси х и угол поворота поперечных сечений при произвольном х равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать
.
(7.1)
Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой z(х) выражается следующей формулой:
.
Однако
в связи с малостью величины
по сравнению с единицей последнее
выражение можно существенно упростить,
и тогда
.
(7.2)
Учитывая
выражение, полученное в предыдущей
лекции,
,
из (7.2) получим следующее важное
дифференциальное соотношение:
,
(7.3)
где Iу момент инерции поперечного сечения балки относительно ее нейтральной оси; Е модуль упругости материала; E Iу изгибная жесткость балки.
Уравнение (7.3), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент Mу (х) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлениями поперечных сечений за счет сдвигов на основании гипотезы плоских сечений.
Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.
В общем случае, для того чтобы найти функции прогибов z(х) и углов поворота (х), необходимо решить уравнение (7.3) с учетом граничных условий между смежными участками.
Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (7.3), записанное для каждого участка, после интегрирования содержит две произвольные постоянные.
На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.
Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.
Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями Mу (х) и E Iу (х), то решение может быть получено как результат последовательного интегрирования уравнения (7.3) по всей длине балки:
интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота:
,
интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов:
.
Здесь C1 и С2 – произвольные постоянные интегрирования – должны быть определены из граничных условий.
Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно применить метод начальных параметров.