
- •Сопротивление материалов
- •Основные обозначения
- •Лекция 1. Основные понятия и исходные положения
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные понятия и исходные положения
- •1.2.1. Реальный объект и расчетная схема
- •1.2.2. Основные гипотезы и допущения сопротивления материалов
- •1.2.3. Внешние силы (нагрузки)
- •1.3. Метод сечений
- •1.3.1. Внутренние силы
- •1.3.2. Понятие о напряжениях
- •1.4. Понятия о перемещениях и деформациях
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 2. Центральное растяжение (сжатие)
- •2.1. Внутренние силы при растяжении
- •2. 2. Нормальные напряжения и условие прочности
- •2.3. Механические испытания материалов при растяжении (сжатии)
- •2.4. Потенциальная энергия деформации
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 3. Теория напряженного и деформированного состояний
- •3.1. Главные площадки и главные напряжения
- •Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.
- •3.2. Виды напряженного состояния
- •3.2.1. Линейное напряженное состояние
- •3.2.2. Плоское напряженное состояние
- •Рассмотрим частные случаи плоского напряженного состояния.
- •3.2.3. Объемное напряженное состояние
- •3.3. Обобщенный закон Гука
- •3.4. Теории прочности
- •Вторая теория прочности – теория наибольших деформаций – впервые была высказана французскими учеными Мариоттом и Навье, а затем поддержана Понселе и Сен-Венаном.
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты сечений
- •4.2. Моменты инерции сечений
- •4.2.1. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
- •4.2.2. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей
- •4.3. Главные оси инерции и главные моменты инерции
- •4.4. Моменты инерции простых сечений
- •4.4.1. Прямоугольник
- •4.4.2. Треугольник
- •4.4.3. Круг
- •4.4.4. Кольцо
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 5. Кручение прямого бруса
- •1. Построение эпюр крутящих моментов.
- •2. Напряжения в поперечном сечении.
- •3. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •5.1. Построение эпюр крутящих моментов
- •5.2. Напряжения в поперечном сечении
- •5.3. Условия прочности и жесткости при кручении вала
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при кручении
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 6. Плоский изгиб
- •6.1. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
- •Решение
- •6.2. Напряжения при чистом изгибе
- •6.3. Напряжения при поперечном изгибе
- •6.4. Перемещения при плоском изгибе
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 7. Перемещения в балках при чистом изгибе
- •7.1. Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе
- •7.2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки
- •7.3. Метод начальных параметров
- •7.4. Пример расчета
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 8. Сложное сопротивление
- •1. Косой изгиб.
- •2. Внецентренное растяжение (сжатие).
- •3. Кручение с изгибом.
- •8.1. Косой изгиб
- •8.2. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •8.2.1. Расчет напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
- •8.2.2. Свойства нулевой линии
- •8.2.3. Ядро сечения
- •8.3. Кручение с изгибом
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 9.Устойчивость сжатых стержней
- •2. Влияние способов закрепления концов стержня на критическую силу.
- •9.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера
- •9.2. Влияние способов закрепления концов стержня на критическую силу
- •9.3. Пределы применимости формулы Эйлера
- •9.4. Расчет стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений
- •Относительный радиус инерции
- •Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Динамическое действие нагрузок. Усталость
- •1. Динамическое действие нагрузок.
- •10.1. Динамическое действие нагрузок
- •10.1.1. Вычисление напряжений при равноускоренном движении
- •10.1.2. Определение перемещений и напряжений при ударе
- •10.1.3. Частные случаи
- •10.2. Прочность при циклически меняющихся напряжениях
- •10.2.1. Влияние концентраций напряжений, состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность
- •10.2.2. Запас усталостной прочности и его определение
- •Вопросы для самопроверки
- •Литература
- •Оглавление
- •Вопросы для самопроверки…………………………………………………...104
6.4. Перемещения при плоском изгибе
При изгибе в качестве перемещений рассматриваются прогиб и угол поворота поперечного сечения. Прогибом балки δ называется величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения q называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис. 6.7).
В
дальнейшем будем считать, что прогибы
и углы поворота балки малы и
,
а
1. Приближенное дифференциальное
уравнение изогнутой оси балки имеет
вид:
.
Если
балка имеет один участок, то это уравнение
можно непосредственно проинтегрировать:
,
,
где
– жесткость при изгибе;
С
и D
– константы интегрирования, которые
представляют собой прогиб
и угол поворота
в начале координат и определяются из
граничных условий задачи.
В связи с неравномерным распределением напряжений по сечению балки рациональным можно считать сечение балки, которое при равной с другими сечениями площади имеет наименьшие напряжения.
Максимальные
напряжения, возникающие в балке при
действии заданной нагрузки, тем меньше
ч
ем
больше осевой момент сопротивления
сечения изгибу.
Поэтому сечения с большим Wу будут более рациональными. Так, например, прямо- угольное сечение, показанное на рис. 6.8 а предпочтительнее использовать при изгибе под действием вертикальной нагрузки, так как осевой момент сопротивления сечения изгибу для него будет больше, чем для этого же сечения, но повернутого на 90о (рис. 6.8 б).
Анализируя эпюры напряжений, можно отметить, что на продольной линии нормальные напряжения равны нулю, касательные напряжения достигают максимума, в крайних волокнах, наиболее удаленных от продольной линии, наоборот, нормальные напряжения достигают наибольших по модулю значений, а касательные напряжения равны нулю. Расчетная практика показала, что нормальные напряжения, как правило, в несколько раз больше касательных. Поэтому имеет смысл проектировать сечения так, чтобы в зоне действия больших напряжений находилась бы большая часть материала. Этому требованию отвечают сечения в виде двутавровых и швеллеровых прокатных профилей, а также различные коробчатые и кольцевые сечения (рис. 6.9).
Вопросы для самопроверки
1. Что называется балкой?
2. Какой вид нагружения называется изгибом?
3. Какой изгиб называется чистым, поперечным?
4. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении балки?
5. Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном сечении балки?
6. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?
7. Как проверить правильность определения опорных реакций?
8. Как формулируется гипотеза плоских сечений?
9. Что представляют собой нейтральный слой и нейтральная линия и как они расположены?
10. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе и как они изменяются по высоте балки?
11. Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?
12. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?
13. Запишите формулу для определения касательных напряжений в поперечных сечениях балки при прямом поперечном изгибе.
14. Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы?
15. Как находятся главные напряжения при изгибе?
16. Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя?
17. Что представляют собой траектории главных напряжений?
18. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластичных материалов?