4.4. Моменты инерции простых сечений

4.4.1. Прямоугольник

Определим момент инерции сечения относительно оси y₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис. 4.5). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси y, элементарную полоску высотой dz и шириной b. Площадь этой полоски dA=bdz, расстояние от полоски до оси y равно z. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси y (4.6):

_.

. (4.18)

Аналогично, получим:

. (4.19)

Очевидно, что , .

4.4.2. Треугольник

О пределим момент инерции треугольника относительно оси у₁, проходящей через основание (рис. 4.6)

.

Элементарная площадка . И

 

з подобия треугольников получаем:

,

где b – основание треугольника; h – его высота.

Таким образом,

.

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно , поэтому, используя правила переноса, находим момент инерции относительно центральной оси у, параллельной основанию

.

4.4.3. Круг

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис. 4.7). За dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dr , расположенного на расстоянии r от центра круга dA = 2d.

Тогда

(4.20)

Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии ; но .

Откуда . (4.21)

4.4.4. Кольцо

О пределим моменты инерции кольца, у которого R – наружный радиус, r – внутренний радиус (рис. 4.8). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим

.

Это выражение может быть представлено в виде

, (4.22)

где .

Соответственно

. (4.23)

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

, (4.24)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла.

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером.