Рассмотрим частные случаи плоского напряженного состояния.

Всестороннее растяжение. Напряженное состояние, при котором главные напряжения, действующие по граням параллелепипеда, равны между собой ₁ = ₂ =  называется всесторонним растяжением. В этом случае получим

,

,

, ,

т.е. нормальные напряжения в любой произвольной площадке равны между собой ₁ = ₂ = _х = s_у = , а касательные напряжения равны нулю: , .

Чистый сдвиг. Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения , (рис. 3.10). Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках, повернутых под углом 45^о к главным. Из формул (3.1) получим, что

, _,

, .

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом, а площадки – площадками чистого сдвига.

Экспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига g и касательными напряжениями t (рис. 3.11), являющаяся законом Гука при сдвиге , где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротивляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость материала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

.

Рассмотрим задачу определения главных напряжений ₁ и ₂, а также положения главных площадок (угол ₀) по известным напряжениям _х, _у, _ху, действующим по двум взаимно перпендикулярным площадкам (обратная задача).

Пусть для определенности положим _х  _у. Из формул (3.1) и (3.2), можно получить

,

. (3.3)

Исключив из этих формул ₁ и ₂, получим формулу для определения угла наклона главных площадок относительно заданной площадки. Обозначим этот угол ₀. Так как направление отсчета углов  для площадки произвольного положения и угла ₀ противоположны, то в полученной формуле необходимо изменить знак. Положительный угол ₀ будем откладывать от направления внешней нормали к площадке, по которой действуют большие нормальные напряжения _х против хода часовой стрелки:

.

.

Откуда .

Для определения и возведем каждое из соотношений (3.3) в квадрат и сложим их:

,

тогда

,

а так как , то из двух последних соотношений получим:

;

. (3.4)

Большее главное напряжение ₁ действует на площадке с углом наклона a₀, вторая же главная площадка с напряжением ₂ ей перпендикулярна, и ее нормаль наклонена под углом к направлению _х. Положение главных площадок и направления главных напряжений представлены на рис. 3.12.

Г лавные напряжения обладают свойствами экстремальности, т.е. ₁ наибольшее, а ₂ наименьшее при любом положении секущей пары взаимно перпендикулярных плоскостей.