Решение задачи графическим методом

Решение производится по стандартному алгоритму.

Шаг1. Построение области допустимых значений (ОДР):

1. Отобразим на плоскости (х₁, х₂) неравенство (1) – линия 1

точка 1:	х1=0;
	3*0+7*х2 = 2100;
	х2= =300
	(0; 300)
точка 2:	х2=0;
	3*х1+7*0 = 2100;
	х1= =700
	(700; 0)

заштрихованная область не удовлетворяет заданному условию.

2. Аналогичным образом отобразим неравенство (2) – линия 2

точка 1:	х1=0;
	5*0+6*х2 = 3000;
	х2= =500
	(0; 500)
точка 2:	х2=0;
	5*х1+6*0 = 3000;
	х1= =600
	(600; 0)

заштрихованная область не удовлетворяет заданному условию.

3. Отобразим на плоскости неравенства (3,4). Полученный четырехугольник ОАВС является ОДР.

Шаг 2. Построение линии уровня Ц.Ф.

1. Зададимся произвольными значениями Ц.Ф.:

F₁(x)=10000;

F=100x₁+200x₂=10000;

х₁=0 => х₂=50;

х₂=0 => х₁=100.

F₂(x)=30000;

F=100x₁+200x₂=30000;

х₁=0 => х₂=150;

х₂=0 => х₁=300.

2. Построим линии уровня и найдем решение задачи:

Рис.1.1. Графическое решение

Решение задачи лежит в точке В с координатами:

х₁=490 кг - производство краски А;

х₂=95 кг - производство краски В;

F=100*490+200*95=68000 у.е. - доход от реализации краски.

Решение задачи симплекс-методом (аналитическая реализация)

1. Преобразуем ММ в стандартную форму:

• максимизацию Ц.Ф. заменим на равносильную минимизацию;

• введем дополнительные неотрицательные переменные х₃ и х₄ и заменим неравенства (1) и (2) на соответствующие равенства.

Ц .Ф.: F(x)= - F(x)= -100x₁-200x₂→min

О

(5)

ГР: 3х₁+7х₂+х₃ = 2100

5х₁+6х₂+х₄ = 3000

ГРУ: х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₄ ≥ 0

ММ в стандартной форме:

3 х₁+7х₂+х₃ = 2100;

5

(6)

х₁+6х₂+х₄ = 3000;

-100x₁-200x₂= F(x)

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0, х₄ ≥ 0

2. Произведем решение задачи по стандартному алгоритму:

Этап 1. Начальное приближение – опорное решение.

Для того чтобы получить единственное решение системы уравнений (базис), необходимо приравнять к нулю (n-m) переменных, где n – количество неизвестных, m – количество уравнений в системе (5).

В нашем случае n=4, m=2, тогда n-m=4-2=2. Значит:

х свободные переменные 1=0	х базис 3≠0
х2=0	х4≠0

Используя систему (6) выразим базисные переменные через свободные:

х3=	2100	-3х1-7х2
х4=	3000	-5х1-6х2
F(x)=	0	-100x1-200x2

базис решение свободные переменные

Решение:

х свободные переменные 1=0	х базис F(x)=0 3=2100
х2=0	х4=3000

Анализ решения:

Решение допустимое, т.к. х_i ≥ 0, i=1…4.

Решение не оптимальное, т.к. коэффициенты Ц.Ф. отрицательные и при увеличении х₁, х₂ произойдет снижение F(x), т.е. F(x) – не минимальное.

Этап 2. Первая итерация, i=1.

Начнем увеличивать х₂, т.к. коэффициент при нем в Ц.Ф. наибольший отрицательный. Таким образом, х₂≠0 переходит в базис.

а ) Определим переменную, переносимую в свободные:

х3=	2100	-3х1-7х2	х3=0 при	х2= =300 → min
х4=	3000	-5х1-6х2	х4=0 при	х2= =500
F(x)=	0	-100x1-200x2

т.к. переменная х₃ быстрее обратится в нуль, то её перенесем в свободные.

б) Произведем обмен х₂ и х₃ и определим текущее решение. Для этого выразим переменную х₂ через х₃ и подставим в остальные уравнения:

х3=

2100-3х1-7х2

=>

х2= = 300-0,429х1-0,143х3

Тогда:

х2=	300	-0,429х1-0,143х3
х4=	3000	-5х1-6(300-0,429х1-0,143х3)
F(x)=	0	-100x1-200(300-0,429х1-0,143х3)

после преобразований получим:

х2=	300	-0,429х1-0,143х3
х4=	1200	-2,426х1+0,858х3
F(x)=	-60000	-14,2x1+28,6х3

Решение:

х свободные переменные 1=0	х базис F(x)=-60000 2=300
х3=0	х4=1200

Анализ решения:

Решение допустимое, т.к. х_i ≥ 0, i=1…4.

Решение не оптимальное, т.к. коэффициент Ц.Ф. при х₁ отрицательный и при увеличении х₁ произойдет снижение F(x), т.е. F(x) – не минимальное.

Этап 3. Вторая итерация, i=2.

Начнем увеличивать х₁, т.к. коэффициент при нем в Ц.Ф. отрицательный. Таким образом, х₁≠0 переходит в базис.

а ) Определим переменную, переносимую в свободные:

х2=	300	-0,429х1-0,143х3	х2=0 при	х1= =699,3
х4=	1200	-2,426х1+0,858х3	х4=0 при	х1= =494,6 → min
F(x)=	-60000	-14,2x1+28,6x3

т.к. переменная х₄ быстрее обратится в нуль, то её перенесем в свободные.

б) Произведем обмен х₁ и х₄ и определим текущее решение. Для этого выразим переменную х₁ через х₄ и подставим в остальные уравнения:

х4=

1200-2,426х1+0,858х3

=>

х1= = 494,64+0,354х3-0,412х4

Тогда:

х1=	494,64	+0,354х3-0,412х4
х2=	300	-0,429(494,64+0,354х3-0,412х4)+0,858х3
F(x)=	-60000	-14,2(494,64+0,354х3-0,412х4)+28,6х3

после преобразований получим:

х1=	494,64	+0,354х3-0,412х4
х2=	87,8	+0,706х3+0,177х4
F(x)=	-67023,89	+23,573x3+5,85х4

Решение:

х отсутствие резерва по сырью 3=0
х4=0

х₁=494,64 кг - производство краски А;

х₂=87,8 кг - производство краски В;

F=-F=67023,89 у.е. - доход от реализации краски.

Анализ решения:

Решение допустимое, т.к. х_i ≥ 0, i=1…4.

Решение оптимальное, т.к. все коэффициенты в Ц.Ф. положительные и увеличение переменных х₃ и х₄ не приведет к дальнейшему снижению F(x), т.е. F(x) – минимальное.