§ 96. Длины дуг меридианов и параллелей.

Пусть требуется определить длину дуги меридиана AB=s (см. рис. 132), имеющей, как мы знаем, форму эллипса. Для этого в формулу (182) подставим из формулы (185) значение радиуса кривизны М. Будем иметь

Для определения длины дуги s между точками А и В, имеющими соответственно геодезические широты В₁ и В₂ необходимо, очевидно, выражение (189) проинтегрировать в пределах данных широт В₁ и В₂,т.е. найти интеграл

Не останавливаясь, на вычислениях этого интеграла и выполняе­мых при этом различных преобразованиях и допускаемых упрощениях, напишем окончательно для дуги меридиана длиной не более 600 км

где М_m — радиус кривизны меридиана для широты В_m;

В_m— средняя широта дуги А В меридиана

(Вг—В₁)" — разность широт конечных точек А и В дуги меридиана, выраженная в секундах дуги.

Если длина дуги меридиана не превышает 45 км, то с достаточной точностью можно ограничиться только первым членом формулы (190) т. е.

Но, как видно, эта формула вы­ражает не что иное, как длину дуги 'окружности, радиус , которой равен радиусу кривизны меридиана М_т для широты В_т, а центральный угол — разности широт (В₂ — В₁) концов дуги.

Учитывая принятое в формуле (188) обозначение первой величины, перепишем (191)

где величина (l)_m соответствует сред­ней широте B_m дуги меридиана.

При известном расстоянии s между точками А и В и их средней широте В_т формула (192) будет иметь вид

Длина дуги параллели s₁= КМ (рис. 134) определяется как дуга окружности, произведением своего радиуса r на центральный угол l, равный разности долгот конечных точек этой дуги. Выражая разность долгот l в секундах, напишем

Но, согласно формуле (186'),

Следовательно, формула (194) примет вид

Учитывая по-прежнему принятое в формулах (188) обозначение "второй величины", получим формулу дуги параллели в виде

Отсюда, очевидно,

§ 97. Взаимные нормальные сечения. Геодезическая линия

Если на поверхности эллипсоида взять две точки: А и В (рис. 135), не лежащие на одной параллели и на одном меридиане, то нормали этих точек пересекутся с осью вращения эллипсоида РР₁ в разных точках: нормаль точки А пересечет ось вращения в точке N₁, а нормаль точ­ки В — в точке N₂. Следовательно, нормальная плоскость, проходящая через нормаль AN₁ и точку В, и нормальная плоскость, проходящая через нормаль BN₂ и точку А, не совпадают одна с другой и занимают в эллипсоиде разные положения. Пересечения этих плоскостей с поверх­ностью эллипсоида дадут соответственно и разные нормальные сечения, проходящие через одни и те же точки А и В: нормальное сечение АаВ — в точке А и обратное ему нормальное сечение ВbА — в точке В. Эти нормальные сечения, образующие между точками A и В узкий дву­угольник (рис. 136), называются взаимными нормальными се­чениями, из которых АаВ прямое нормальное сечение- в точке А, а ВbА - обратное нормальное сечение в той же точке А.

Таким образом, если по измеренным углам составить треугольник ABC (рис. 137), то его стороны будут иметь двойственное значение как образованные не совпадающими между собой взаимными нормальными сечениями и, следовательно, создадут в построении этого треугольника некоторую неопределенность.

Взаимное положение прямого и обратного нормальных сечений зависит от расположения соединяемых ими конечных точек. Например, точке А (см. рис. 135), расположенной южнее точки В, прямое нор­мальное сечение АаВ пройдет южнее обратного нормального сечения BbA; наоборот, в точке В, лежащей севернее точки А, прямое нормальное сечение ВbА пройдет севернее обратного нормального сечения АаВ. При положении точек на одном меридиане или на одной параллели взаимные нормальные сечения сливаются в одну линию.

В зависимости от расстояний между конечными точками угол Δ (рис. 136), образованный взаимными нормальными сечениями, макси­мально достигает следующих величин:

и так далее.

Как видно, при малых расстояниях, не превышающих 20—30 км, взаимные нормальные сечения расходятся на ничтожно малые углы,

близкие к нулю. В таких случаях каждое прямое и обратное нормальное сечение принимают во всех построениях за одну кривую, соединяющую две точки на поверхности эллипсоида.

Но при значительных расстояниях между точками эти расхождения необходимо учитывать. Взаимные нормальные сечения заменяют в этом случае так называемой геодезической линией, представляющей собой кривую (рис. 138), по которой расположилась бы нить, туго натя­нутая между двумя точками на поверхности эллипсоида. Следовательно, она является линией кратчайшего расстояния между дан­ными точками. Длина ее практически равна длине нормальных сечений и определяется по формуле

где σ"—центральный угол, выраженный в секундах, которому соответ­ствует дуга s на поверхности, эллипсоида; N₁ — радиус кривизны пер­вого вертикала в точке А.

Геодезическая линия образует с нормальными сечениями вполне определенный угол о, который по величине равен приблизительно одной трети угла А. Положение геодезической, линии между нормальными сечениями схематически показано на рис. 138.