3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Складіть рівняння дотичної площини й нормалі до наступних поверхонь:

1) в точці (1, 0, 0);

2) в точці (3, 1, -1).

Приклад. .

Розв’язання.

– рівняння дотичної площини.

– рівняння нормалі.

2. Доведіть, що дотичні вектори до всіх кривих, які проходять через дану точку регулярної поверхні і лежать на цій поверхні, утворюють площину.

3. Доведіть, що поверхня, яка утворена обертанням кривої

навколо вісі z, є регулярною, якщо крива є регулярною та не перетинає вісь z.

4. З’ясуйте вид координатних ліній на площині:

1) ;

2) ;

3)

5. Напишіть рівняння дотичної площини й нормалі до наступних поверхонь в вказаних точках:

1)

2)

6. Напишіть рівняння дотичної площини до псевдосфери

.

Приклад.

Розв’язання. .

Рівняння дотичної площини:

Відповідь.

7*. Складіть рівняння дотичної площини й нормалі до прямого гелікоїду

.

Дослідить поведінку нормалі при зміщені її вздовж координатних ліній.

8. Напишіть рівняння дотичної площини до тору

,

в точці М (u,v), для якої

ЗАНЯТТЯ ІІІ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНІ.