Демонстраційні варіанти модульної контрольної роботи до розділу «Теорія поверхонь»
Варіант 1.
Кривина кривої, яка лежить на поверхні. Теорема Меньє.
Чи змінюється при заміні криволінійних координат на поверхні:
а) перша квадратична форма;
б) площа поверхні;
в) нормальний вектор до поверхні?
Дана поверхня
а) дослідить поверхню на регулярність;
б)
напишіть рівняння дотичної площини та
нормалі у точці
;
в)
знайдіть нормальну кривину поверхні в
точці
г) знайдіть головні кривини поверхні в точці .
Варіант 2.
Способи завдання поверхні. Зв'язок між способами завдання регулярної поверхні.
Який геометричний зміст векторів:
а)
та
;
б)
?
Дана поверхня
а) дослідить поверхню на регулярність;
б)
напишіть рівняння дотичної площини та
нормалі у точці
;
в) знайдіть нормальну кривину поверхні в точці
г) знайдіть головні кривини поверхні в точці .
Демонстраційний варіант екзаменаційної роботи
1. Головні напрямки поверхні. Лінії кривини на поверхні.
2. Чи в кожній точці регулярної кривої існує дотична?
3. Скільки існує натуральних параметризацій кривої?
4. Чи залежить кривина кривої від параметризації?
5. Доведіть, що скрут гвинтової лінії сталий.
Дана поверхня
а) чи перпендикулярні координатні лінії?
б) знайдіть нормальну кривину у головних напрямках дотичної площини у довільній точці поверхні;
в) знайдіть гауссову кривину поверхні;
г) чи ізометрична поверхня сфері?
Скільки геодезичних можна провести через дану точку поверхні?
Зведення поверхонь
Рис. 1. Утворення поверхні обертання з віссю обертання .
.
Рис. 2. Сфера.
Рис. 3. Еліпсоїд обертання.
Рис. 4. Однопорожнинний гіперболоїд обертання.
Рис. 5. Двопорожнинний гіперболоїд обертання.
Рис. 6. Параболоїд обертання.
Рис. 7. Круговий циліндр.
Рис. 8. Гелікоїд.
Рис. 9. Тор.
Рис. 10. Катеноїд.
Рис. 11. Псевдосфера (поверхность Бельтрами).
Список рекомендованої літератури
А
минов
Ю. А. Дифференциальная геометрия и
топология кривых /
Ю. А. Аминов. – М. : Наука, 1987. – 288 с.
2. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія :
навч. посібник / О. А. Борисенко. – Харків : Основа,
1995. – 304 с.
3. Новиков С. П. Элементы дифференциальной геометрии и
топологии / С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. – М. : Наука,
1987. – 268 с.
4. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия /
А. В. Погорелов. – М. : Наука, 1974. – 366 с.
5. Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная
геометрия / М. М. Постников. – М. : Наука, 1979. – 196 с.
6. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. – 5-е изд., испр. – М. : Изд-во ЛКИ, 2008. – 432 с.
НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНЕ ВИДАННЯ
Коваленко Наталія Володимирівна
Мазнєв Олександр Володимирович
Практикум з диференціальної геометрії
Навчально-методичний посібник для студентів математичних спеціальностей педагогічних і класичних університетів
План вид. 2013р., поз. № 172
