3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Доведіть, що меридіани на поверхні обертання є геодезичними.

2. Доведіть, що гвинтові лінії є геодезичними на циліндрі .

Приклад.

Розв’язання. ,

– рівняння, що визначають геодезичні лінії на поверхні, де

Система для визначення символів Кристоффеля:

;

При

– гвинтові лінії.

Якщо

– кола.

Якщо

– прямі.

3*. Знайдіть геодезичні лінії на поверхні , якщо її перша квадратична форма має вид:

а) ;

б)

4. Доведіть, що геодезичні на площині є відрізками прямих.

4. Доведіть, що найкоротші на сфері є дуги великих кіл.

4. Доведіть,що траєкторією вільного руху по поверхні матеріальної точки є геодезична.

4. Доведіть,що на площині відрізок має мінімальну довжину серед усіх кривих, що з’єднують його кінці.

4. Знайдіть геодезичні лінії:

1. прямого гелікоїда;

2. псевдосфери.

4. Знайдіть геодезичну кривину:

1. кола радіусу r, яке лежить на сфері радіусу R;

2. гвинтових ліній , що лежать на прямому гелікоїді

3. ліній та на поверхні