3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Знайдіть другу квадратичну форму поверхні:

1)

2) .

Приклад. .

Розв’язання.

Відповідь:

2. Знайдіть нормальну кривину:

а) площини в довільному напрямку дотичної площини;

б) сфери в довільному напрямку дотичної площини;

в) циліндра у напрямку дотичної площини, паралельнім твірній;

г) циліндра у напрямку дотичної площини, перпендикулярнім твірній;

д) циліндра в довільному напрямку дотичної площини.

3. Доведіть, що при будь-якому виборі криволінійних координат на площині друга квадратична форма тотожно дорівнює нулю.

4. Доведіть, що поверхня є частиною площини, якщо її друга квадратична форма дорівнює нулю.

5. Доведіть, що індикатриса Дюпена є або еліпсом, або парою паралельних прямих, або парою спряжених гіпербол.

Приклад.

Розв’язання. – рівняння індикатриси Дюпена, або

І центральні криві:

а) еліптичний тип;

б) гіперболи;

в) дві прямі, що перетинаються. У нашому випадку не може бути;

г) . Не може бути.

д) .

Отже, наша крива може бути або еліпсом, або парою паралельних прямих, або парою спряжених гіпербол.

6. Знайдіть головні кривини: а) площини; б) сфери; в) циліндра.

6. Доведіть, що якщо в точці поверхні існує рівно два головних напрямків, то вони перпендикулярні.

6. Знайдіть головні кривини поверхні:

=0.

6. Знайдіть гауссову та ейлерову кривини: а) площини; б) циліндра; в) сфери.

10. Доведіть, що для поверхні має місце формула

11. Знайдіть головні напрямки та головні кривини прямого гелікоїда

12. Обчисліть головні кривини поверхні у точці

Приклад.

Розв’язання. Параметризуємо поверхню

;

– рівняння для знаходження головних кривин.

У точці

; .

13. Обчисліть головні кривини поверхні

у точці

14. Знайдіть повну та середню кривини прямого гелікоїда На яких лініях повна кривина стала?

Приклад.

Розв’язання. – повна кривина поверхні; – середня кривина поверхні, де – головні кривини.

– головні кривини.

Мінімальна поверхня.

15. Знайдіть кривини нормальних перерізів поверхні

а) у довільній точці;

б) у точках ліній, які одержуються при перерізах поверхні площинами, ; у напрямках, що ідуть по дотичним до цих ліній;

в) у точці в напрямку дотичної до лінії

16. На поверхні дана точка

а) обчисліть головні кривини поверхні у точці .

б) знайдіть рівняння дотичних до головних нормальних перерізів у вказаній точці.

в) обчисліть кривину нормального перерізу у точці , який проходить через дотичну до лінії

17. Дана поверхня

а) знайдіть в початку координат рівняння індикатриси Дюпена.

б) обчисліть в початку координат радіус кривини нормального перерізу, дотична до якого складає кут 45 з віссю Ох.

18*. Знайдіть повну та середню кривину поверхні обертання , де

19. Покажіть, що координатні лінії поверхні

є лініями кривини.

19. Дослідіть характер точок на наступних поверхнях другого порядку:

1. Еліпсоїд;

2. Однопорожнинний гіперболоїд;

3. Двопорожнинний гіперболоїд;

4. Еліптичний параболоїд;

5. Гіперболічний параболоїд;

6. Еліптичний циліндр;

7. Параболічний циліндр;

8. Гіперболічний циліндр;

9. Конус без вершини.

Приклад. Еліпсоїд обертання

Розв’язання. Знайдемо другу квадратичну форму поверхні.

Визначимо знак виразу .

для будь-яких

Усі точки на еліпсоїді обертання еліптичного типу.

19. Знайдіть лінії кривини наступних поверхонь:

1. Довільної циліндричної поверхні;

2. Довільної конічної поверхні;

3. Довільної поверхні обертання;

4. Поверхні

5. Довільної розгорнутої поверхні;

6. Прямого гелікоїда;

7. Еліптичного параболоїда.

ЗАНЯТТЯ VI. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОВЕРХОНЬ