3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Знайдіть першу квадратичну форму поверхні:

a)

б) ;

в)

г)

д)

е)

Приклад.

Розв’язання.

2. Доведіть, що координатні лінії на поверхні обертання ортогональні.

3. Знайдіть: а) периметр; б) площу; в) кути криволінійного чотирикутника на поверхні обмеженого лініями

4*. Покажіть, що у трикутника на сфері, складеного з дуг великих кіл, сума кутів більша ніж π.

5. Доведіть, що при відповідному виборі криволінійних координат на поверхні обертання її перша квадратична форма може бути приведена до виду .

6*. на сфері лінії, які перетинають меридіани під сталим кутом (локсодроми).

Приклад.

Розв’язання. .

– шуканий напрям;

– напрям меридіан.

– перша квадратична форма сфери.

– локсодроми.

7. Доведіть, що для регулярної поверхні перша квадратична форма є позитивно визначеною.

8. Доведіть, що координатні лінії перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли .

9*. Покажіть, що існує ізометричне відображення гелікоїда на катеноїд , при якому прямолінійним твірним гелікоїда відповідають меридіани катеноїда.

Приклад.

Розв’язання. – рівняння гелікоїда.

; ;

– перша квадратична форма гелікоїда.

– рівняння катеноїда.

; ;

– перша квадратична форма катеноїда.

Існує перетворення, яке переводить першу квадратичну форму гелікоїда в першу квадратичну форму катеноїда:

вони ізометричні.

10. Доведіть, що площа сфери дорівнює 4 .

11. На круговому конусі розглядається сім’я ліній , де параметр. Знайдіть сім’ю їх ортогональних траєкторій.

Приклад. .

Розв’язання.

– перша квадратична форма конусу.

– шуканий напрям;

.

Відповідь.

11. Запишіть рівняння косого гелікоїда прийняв лінії і їх ортогональні траєкторії за координатні лінії.

11. Дана поверхня

а) знайдіть першу квадратичну форму.

б) вичисліть диференціал довжини дуги для ліній

в) вичисліть довжину дуги лінії між точками її перетину з лініями

11. Знайдіть ортогональні траєкторії сім’ї ліній , що лежить на косому гелікоїді

11. Знайдіть, під яким кутом перетинаються лінії на прямому гелікоїді

11. Знайдіть периметр та внутрішні кути криволінійного трикутника

розташованого на поверхні у якої

11. Знайдіть кут між лініями та на поверхні

Приклад. .

Розв’язання. – перший напрям;

– другий напрям.

– перша квадратична форма поверхні.

Точка перетину:

11. На поверхні з першою квадратичною формою

знайдіть довжину дуги лінії між точками та

11. Знайдіть кут між лініями та на поверхні, яка має першу квадратичну форму

11. Знайдіть площу криволінійного трикутника розташованого на поверхні з першою квадратичною формою

21*. На псевдосфері

задані дві сім’ї ліній

Обчисліть довжину дуги лінії кожної сім’ї між двома точками та .

Доведіть, що довжини дуг всіх ліній однієї сім’ї між двома фіксованими лініями другої сім’ї однакові.

22. Знайдіть площу чотирикутника на прямому гелікоїді обмеженого лініями

Приклад. .

Розв’язання.

ЗАНЯТТЯ ІV - V. ВИКРИВЛЕНІСТЬ ПОВЕРХНІ