Нелінійні моделі

У статистиці розроблено багато методів рішення задачі оцінювання функціональної залежності. У випадку, коли залежність між показниками є нелінійною, при оцінці параметрів моделі використовуються методи нелінійного оцінювання, що зібрані в модулі Nonlinear Estimation – Нелінійне оцінювання. У цьому модулі можна скористатися заздалегідь визначеними регресійними моделями (логіт, пробіт, експоненційна та інші моделі, що традиційно використовуються на практиці) або задати власну модель.

У модулі Нелінійного оцінювання використовуються різні методи оцінювання невідомих параметрів. Можливим є використання методу найменших квадратів, методу максимальної правдоподібності, можна також задати свою функцію втрат. Більшість методів засновано на мінімізації того чи іншого функціонала. При мінімізації можливо використовувати ряд оптимізаційних процедур, серед яких є квазі-ньютонівський метод, симплекс-метод, процедура Хука – Дживіса та інші.

Розглянемо приклад. Нехай, певне підприємство характеризується наступними даними: випуск продукції, вартість основних виробничих фондів і середньоспискова чисельність робітників (табл. 6). Необхідно побудувати багатофакторну нелінійну модель (вид моделі – функція Кобба – Дугласа) залежності випуску продукції від вартості основних фондів та чисельності робітників; оцінити параметри моделі та її адекватність.

Таблиця 6

Вихідні дані для побудови моделі

№ п/п	Вартість основних фондів, тис. грн.	Середньо-спискова чисельність робітників, чол.	Випуск валової продукції, тис. грн.	№ п/п	Вартість основних фондів, тис. грн.	Середньо-спискова чисельність робітників, чол.	Випуск валової продукції, тис. грн.
	OF	T	Y		OF	T	Y
1	1240	336	3540	13	2100	227	1586
2	2310	302	2911	14	2521	267	3223
3	4501	440	5636	15	3930	467	4224
4	4906	510	5492	16	5297	395	3410
5	2803	290	2901	17	3300	254	1326
6	6507	591	9410	18	3000	312	3410
7	1620	271	1920	19	7100	411	2001
8	2005	304	2569	20	3100	135	2450
9	4780	340	3520	21	3521	407	4970
10	1740	271	2340	22	3130	410	3640
11	3020	363	3921	23	3500	450	8010
12	7201	381	3671	24	3100	250	1490

Першим етапом рішення задач на побудову нелінійних моделей є встановлення виду залежності між незалежними і залежною величинами. Це можна зробити за допомогою графічних та аналітичних методів статистики. У даній задачі залежність випуску валової продукції від вартості основних виробничих фондів та середньоспискової чисельності робітників виражається функцією Кобба – Дугласа. Вона є нелінійною і має такий вигляд: . Отже, задача побудови моделі зводиться до оцінки параметрів вказаної функції. Для побудови нелінійних багатофакторних моделей у системі Statistica використовується модуль Нелінійного оцінювання.

Запустимо програму Statistica. Сформуємо таблицю (файл) вихідних даних. На панелі інструментів Statistics або в меню Statistics виберемо функцію Nonlinear Estimation – Нелінійне оцінювання. У стартовому вікні Нелінійного оцінювання необхідно обрати вид нелінійної моделі. В даному випадку обираємо User-specified regression, custom loss function – Задана користувачем регресія та функція залишків (рис. 14).

Рис. 14. Стартове вікно модуля Нелінійного оцінювання

У наступному вікні, ініціювавши кнопку Function to be estimated & loss function – Функція для оцінки параметрів і функція залишків маємо задати функцію, параметри якої потрібно оцінити за вихідними даними, та функцію залишків. Функція залишків за замовчуванням – мінімізація суми квадратів відхилень модельних значень від спостережуваних (рис. 15).

Зверніть увагу на запис функцій. Підказки щодо символьного позначення математичних операцій знаходяться в нижній частині вікна. Задавши вид функцій і натиснувши двічі кнопку ОК, переходимо до вікна Model Estimation – Оцінка моделі.

Рис. 15. Вікно для запису оцінюваної функції та функції залишків

Вікно Оцінки моделі складається з двох частин – інформаційної та функціональної. У верхній частині вікна (інформаційній) міститься інформація про вид моделі, кількість оцінюваних параметрів, функцію залишків, залежну і незалежну змінні, метод обробки пропущених значень і кількість точок спостереження. У функціональній частині вікна необхідно перейти на закладку Advanced – Додатково і задати метод оцінки параметрів (Estimation method). За замовчуванням це буде метод Quasi-Newton. Окрім того, в цьому вікні можна вибрати опцію Asymptotic standart errors (Асимптотична стандартна помилка), задати кількість ітерацій для оцінки параметрів (Maximum number of iterations – за замовчуванням 50), точність оцінювання параметрів та інші параметри (рис. 16).

Рис. 16. Вікно для вибору параметрів оцінки моделі

Після запуску команди на виконання розпочнеться чисельна оцінка параметрів заданої моделі. У процесі оцінки може з'явитися повідомлення про те, що виконано задану кількість ітерацій, але потрібно додати ще ітерацій. Після чого система запропонує додати певну кількість ітерацій (таке повідомлення може з'являтися неодноразово, погоджуйтеся з ним до закінчення процесу оцінки параметрів). Після закінчення процедури оцінки параметрів з'являється вікно результатів аналізу – Results (рис. 17).

Рис. 17. Вікно результатів. Швидкі статистики

У верхній – інформаційній – частині вікна зазначено: вид моделі, залежна змінна, кількість незалежних змінних, функція залишків, кінцеве значення функції, коефіцієнт детермінації. Оскільки цей коефіцієнт дорівнює 0,8541, що більше 0,75, то побудована модель досить добре відображає залежність випуску валової продукції від вартості основних фондів і середньоспискової чисельності робітників, а отже, її можна використовувати для прогнозу.

Нижня частина вікна містить ряд кнопок, що дозволяють усебічно подивитися результати оцінювання.

Ініціювавши на закладці Quick кнопку Summary: Parameter estimates – Результат оцінки параметрів, отримаємо значення параметрів моделі (рис. 18).

Рис. 18. Параметри моделі Кобба – Дугласа

Таким чином функція Кобба – Дугласа запишеться наступним чином: .

Аналізуючи адекватність моделі необхідно провести аналіз залишків (закладка Residuals – Залишки). Тут маємо ряд кнопок, ініціювавши які можна всебічно проаналізувати залишки (рис. 19).

Рис. 19. Вікно результатів. Аналіз залишків

Основними кнопками, на які варто звернути увагу, є кнопка Normal probability plot of residuals – Графік залишків на нормальному імовірнісному папері та кнопка Distribution of residuals – Гістограма розподілу залишків (рис. 20, 21).

Даний графік будується у системі координат, де по осям відкладаються отримані залишки та очікувані значення залишків для кожної точки спостереження. Якщо залишки (точки на графіку) добре лягають на пряму, то це свідчить про адекватність побудованої моделі.

Якщо залишки будуть розподілені за нормальним законом розподілу, то модель вважається адекватною.

Рис. 20. Графік залишків на нормальному ймовірнісному папері

Рис. 21. Гістограма розподілу залишків

Таким чином, побудована модель достатньо добре відображає залежність випуску продукції від чисельності робітників та вартості основних виробничих фондів і може бути використана для прогнозу. Прогнозні значення випуску продукції обчислюємо, підставивши у модель значення вартості основних фондів та чисельності робітників.

Завдання. Самостійно визначте прогнозне значення випуску продукції (дивіться умову задачі). Ознайомтеся з іншими можливостями модуля Нелінійного оцінювання (види нелінійних регресій, початкові установки для оцінки параметрів нелінійної моделі, аналіз адекватності побудованої моделі).