3.3. Модель Солоу

По сравнению с предыдущей моделью модель Солоу позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов, поскольку:

• производственная функция в этой модели нелинейна и обладает свойством убы­вания предельной производительности;

• модель учитывает выбытие основного капитала;

• модель Солоу включает описание динамики трудовых ресурсов и технического прогресса и их влияние на экономический рост;

• здесь ставится и решается задача максимизации уровня потребления на некото­ром множестве устойчивых траекторий.

С другой стороны принято ряд упрощающих допущений:

• считаются постоянными норма сбережений и норма выбытия капитала;

• инвестиционные лаги отсутствуют

• производственная функция имеет посто­янную отдачу от масштаба ;

• предельная производительность факторов положительна, но убывает:

;

• величина выбытия капитала пропорциональна его величине где - норма выбытия;

• норма сбережений (инвестиций) постоянна, и инвестиции равны ;

• доход распределяется на потребление и инвестиции: ;

• численность занятых растет с постоянным темпом ;

• трудосберегающий технический прогресс имеет темп , т.е. число единиц труда с постоянной эффективностью в расчете на одного работающего растет с темпом .

При сделанных предпосылках производственную функцию можно рассматривать

как зависимость производ-ти труда от его капиталовооруженности : .

Прирост капиталовооруженности в результате инвестиций равен . Темп снижения капиталовооруженности за счет выбытия капитала, роста численности работающих и технического прогресса ра­вен _.

Величина находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее прирост за счет инвестиций равен ее уменьшению за счет других факторов.

.

Величина называется устойчивым уровнем капиталовооруженности (см. рис.3).

Рис. 3. Устойчивый уровень капиталовооружения

Система автоматически возвращается в устойчивое положение.

В устойчивом состоянии темп прироста показателей равен нулю. Поскольку все это удельные показатели в расчете на единицу труда с посто­янной эффективностью, а эффективность труда одного занятого растет с темпом . Показатели капитала, дохода, потребления и инвестиций в расчете на одного заня­того растут с темпом . Следовательно, модель Солоу показывает, что един­ственным источником длительного, устойчивого роста дохода на одного работни­ка, а, следовательно, и душевого потребления, является технический прогресс.

Выше было показано, что каждому уровню нормы сбережения соответствует определенное устойчивое состояние и свой уровень устойчивого потреб­ления на единицу труда с постоянной эффективностью . Можно поставить задачу отыскания устойчивого состояния, в котором величина максимальна среди всех таких состояний. Поскольку в любом устойчивом состоянии выполня­ется равенство

, и

,

требуется максимизировать по функцию . Необходимым условием максимума дифференцируемой функции является равенство нулю ее производной:

.

Соответствующая ему вели­чина капиталовооруженности . Она может быть найдена из уравнения

.

В точке (рис.4) касательная к графику производственной функции параллельна прямой .

Рис. 4 . Графическая интерпретация «золотого» правила