
Лекция 5 экономическая динамика и ее моделирование
1. Показатели экономической динамики
Динамика – изменение состояния системы во времени. Время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным промежуткам или моментам времени. Большинство моделей экономической динамики существуют как в непрерывном, так и в дискретном вариантах.
Показатели, характеризующие динамику экономического объекта, - это абсолютные темпы роста и прироста.
Если
рассматривается зависящая от времени
величина
- дискретная,
то абсолютный прирост, темп роста и темп
прироста определяются соотношениями:
.
Если
темп прироста
неизменен во времени, то динамика
показателя
может
быть записана как
.
Если
есть непрерывная
функция времени, то рост ее с постоянным
темпом записывается как
,
где
-
непрерывный темп прироста
.
Рассмотрим величины темпов прироста для сумм и произведений показателей.
Пусть
показатель
есть сумма
и
,
растущих соответственно, с постоянными
непрерывными
темпами
и
,
причем
.
Тогда
.
Поскольку
,
величина в квадратных скобках стремится
к единице, и темп прироста суммы
приближается к темпу быстрее растущего
составляющего, т.е. к
.
Для произведения имеем
.
Если и - дискретные темпы прироста, то и , то
.
При
малых
и
величина
пренебрежимо мала, и темп прироста
произведения приближенно равен сумме
темпов прироста сомножителей.
2. Связь объемных и темповых показателей функции Кобба-Дугласа
Связь
объемных и темповых величин рассмотрим
на примере производственной функции
Кобба-Дугласа. Пусть
-
непрерывные функции времени,
- непрерывные темпы их прироста.
Тогда
объемная ПФ с нейтральным техническим
прогрессом (при постоянном темпе
последнего, равном
)
имеет вид:
.
Логарифмируя эту зависимость, получаем:
.
Откуда
.
Следовательно
,
где
и
- эластичности выпуска по капиталу и
труду соответственно.
Эта линейная формула характеризует вклад темпов прироста факторов производства в общие темпы прироста дохода, а показатель характеризует вклад технического прогресса.
3. Примеры моделей экономической динамики
Рассмотрим два примера моделей макроэкономической динамики, реализующих дискретный и непрерывный подходы. В обоих случаях модели носят весьма общий, абстрактный характер. На этих моделях удобно продемонстрировать простейший аппарат дискретного и непрерывного динамического моделирования, продемонстрировать проблемы макроэкономической динамики.
3.1. Паутинообразная модель
Эта модель позволяет исследовать устойчивость цен и объемов товаров на рынке, описываемом традиционными кривыми спроса и предложения (см. рис.1) при наличии запаздывания во времени (лага).
Пусть
производители определяют предложения
товара в текущем периоде на основе цен,
установившихся в предшествующем
периоде, т.е.
.
Действительно, решение об объеме
производства принимается с учетом
текущих цен, но производственный цикл
имеет определенную продолжительность,
и соответствующее этому решению
предложение появится на рынке по
окончании данного цикла.
Рис. 1. Паутинообразная модель
Объем
спроса на товар зависит от цены товара
в данном периоде, т.е.
.
Таким образом, динамику цены можно
описать системой уравнений:
,
(
- равновесное состояние системы) или
одним уравнением
.
Из
этого уравнения можно найти значение
цены
в текущий момент времени по известному
значению
в предшествующий момент времени.
Схема решения очень проста:
где
- обратная функция спроса.
В качестве примера рассмотрим путинообразную модель, в которой функции спроса и предложения линейны:
;
;
.
Здесь
,
так как функция предложения возрастающая;
так как функция спроса убывающая;
,
т.е.
(считаем, что при нулевой цене спрос
превышает предложение). Уравнение,
описывающее динамику такой системы,
имеет вид:
,
или
.
Найдем
сначала равновесную цену
и равновесный объем производства
.
Они должны удовлетворять уравнениям
,
откуда
и
.
Теперь
исследуем поведение цен и объемов
производства в том случае, если начальная
точка не совпадает с равновесной. Вначале
эту задачу можно решить графически (см.
рис. 2). Из графического анализа можно
сделать следующие выводы. Если кривая
предложения наклонена круче, чем кривая
спроса
,
то равновесие на таком рынке будет
устойчивым. Если же кривая спроса
наклонена круче, чем кривая предложения
,
то равновесие на рынке будет неустойчивым
(процесс расходится). Наконец, при равном
наклоне кривых спроса и предложения
цены на рынке будут испытывать регулярные
колебания с постоянной амплитудой.
Рис. 2. Графическое решение задачи
Итак, определяющим моментом для устойчивости системы является менее сильная сглаживающая реакция на изменение цены той функции, которая имеет временной лаг (здесь - функция предложения).
В реальности при бесконечно возрастающих колебаний, конечно, не будет, так как при больших отклонениях от равновесия линейное приближение становится нереалистичным. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются нелинейные колебания большой, но конечной амплитуды, которые являются прообразом экономических циклов подъема и спада производства.