12

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

РАСЧЁТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ

Пример выполнения и оформления расчётно-графического задания

«Расчёт балки на прочность и жёсткость»

по дисциплине «Сопротивление материалов»

Методические указания

Комсомольск-на-Амуре 2013

УДК 624.04

Расчёт балки на прочность и жёсткость: Методические указания. Пример решения и оформления расчётно-графического задания по дисциплине «Сопротивление материалов» / Сост.: В.С. Симонов – Комсомольск-на-Амуре:

ГБОУ ВПО «КнАГТУ», 2014. – 12 с.

Методические указания содержат общие рекомендации и пример расчёта статически определимой балки на прочность и жёсткость. В примере расчёт балки на жёсткость выполнен с использованием универсального уравнения упругой линии. Решение сопровождается необходимыми рисунками и комментариями.

Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения, изучающих курс «Сопротивление материалов».

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет».

Согласовано с отделом МК

Рецензент М.Р. Петров

ВВЕДЕНИЕ

Расчёт балок на прочность и жёсткость является одной из основных задач сопротивления материалов. Более трудной для студентов является задача расчёта на жёсткость, требующая определения максимальных (по модулю) прогибов балки. Эта часть расчёта в примере выполняется с помощью универсального уравнения упругой линии (оси) балки метода начальных параметров.

Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балки с помощью интеграла Мора и правила Верещагина в данных методических не рассматривается, т.к. эта тема требует отдельного изучения и выполнения соответствующего РГЗ.

Краткие общие методические указания

Расчёт балки на прочность, требующий для определения «опасных сечений» построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, не нуждается в данных методических указаниях в особых пояснениях, т.к. это рассматривалось ранее в расчётно-графическом задании на эту тему.

Подробнее остановимся на составлении дифференциального уравнения упругой линии балки метода начальных параметров и его интегрировании.

1. Дифференциальное уравнение упругой линии балки необходимо записывать в единой системе координат для всех участков с началом левом конце балки, учитывая внешнюю нагрузку слева от сечения, не вообще (в виде произвольного набора внешних сил), а в соответствии с конкретной расчётной схемой, включая в него внешние нагрузки (и реакции опор) в порядке обхода балки слева на право.

2. Для соблюдения условия, чтобы выражения изгибающих моментов на всех последующих участках включали без изменения выражения предыдущих участков, необходимо распределённую нагрузку, не доходящую до правого конца балки, продлить её до правого конца балки и тут же скомпенсировать такой же нагрузкой противоположного направления.

3. Внешнюю сосредоточенную пару сил (момент) в уравнении изгибающего момента необходимо записать в виде М(z-c)⁰, где с – расстояние от левого конца балки до места приложения М.

4. Интегрирование дифференциального уравнения выполнять без раскрытия скобок.

5. Начальные параметры ЕI_хθ₀, ЕI_ху₀ ,общие для всех участков, записываются в начале уравнения.

6. Значения начальных параметров ЕI_хθ₀, ЕI_ху₀ определяют из условия закрепления балки.

5. Эпюры углов поворота и прогибов строят по значениям для отдельных сечений с определённым шагом, например Δz=1 м. с уточнением их очертаний в соответствии с дифференциально-интегральными зависимостями.

Все эти действия проиллюстрируем решением конкретной задачи.

Задание на расчётно-графическую работу

Выполнить проектировочный расчёт балки заданной расчётной схемы при требуемых условиях:

а) прочности:

допускаемое нормальное напряжение при изгибе [σ_и]=180 МПа;

допускаемое касательное напряжение [τ]= 80 МПа;

б) жёсткости – допускаемый прогиб [y]=0,8 см.

Порядок выполнения задания

1. Вычертить (а не рисовать!) в удобном для расчёта масштабе расчётную схему балки с соблюдением правил инженерного черчения (объект расчёта – балка – основная линия («толстая») толщиной «b», размерные и вспомогательные линии «b/3 – b/4». На расчётной схеме должны быть приведены значения размеров, нагрузок, например Р₁=5 кН, и т.д., предполагаемые направления опорных реакций и после их определения – фактические направления с приведением значений.

2. Определить и проверить значения и фактическое направление опорных реакций.

3. Построить и проверить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M_и, пояснив, как выполняется это решение.

Проверку эпюр выполнить по дифференциально-интегральным зависимостям между q, Q, M_и, используя геометрические интерпретации производной и интеграла, (не обязательно описывая процедуру этой проверки; достаточно студенту самому убедиться в правильности построения эпюр и в случае неудовлетворения результатами проверки обратиться к преподавателю с конкретными вопросами – что не «устраивает» в этих проверках?).

4. Из условия прочности при изгибе определить необходимое значение осевого момента сопротивления поперечного сечения балки и по справочной таблице выбрать номер двутавровой балки

5. Проверить прочность балки по максимальным касательным напряжениям .

6. Для проверки соблюдения условия жёсткости необходимо определить максимальный по модулю прогиб балки

Для исследования деформации балок (представления формы изогнутой оси, определения значений прогибов и углов поворота поперечных сечений) в данном задании требуется использовать универсальные уравнения метода начальных параметров.

Для осмысленного решения поставленной задачи необходимо иметь чёткое представление о формулировке и реализации условий закрепления балки (граничных условий).

7. Вычисляя значения EI_xθ и EI_xy в сечениях балки с определённым интервалом z (например, с шагом Δz=1 м) вычертить (а не нарисовать!) в самостоятельно принятых масштабах эпюры EI_xθ и EI_xy.

Для удобства анализа полученного решения эпюры изгибающих моментов, углов поворота и прогибов изобразить на одном рисунке (эпюру изгибающих моментов изобразить повторно) с приведением значений в характерных сечениях и, если недостаточно промежуточных значений, согласуя эпюры друг с другом по дифференциально-интегральным зависимостям (экстремальные значения, точки смены кривизны и др.).

8. Проверить соблюдение условия жёсткости, вычислив максимальное значение прогиба (модуль) и сравнив его с допускаемым значением [y]. Если условие жёсткости не выполняется, то необходимо выбрать другой номер двутавра.

9. Каждый шаг выполнения задания должен быть назван, например:

а). Определяем и проверяем реакции опор. (Далее – решение).

б). Строим и проверяем эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. (Далее – решение) и т.д.

Все вычисления необходимо представлять в виде:

1. Аналитическое выражение в общем виде вычисляемого параметра (силы, перемещения, напряжения и др.) «=».

2 .Повторение этого выражения подстановкой численных значений (с учётом знаков) без изменения порядка следования и промежуточных («в уме») вычислений, с учётом приведения всех значений к единой системе измерения «=».

3. Окончательный результат с приведением единицы измерения (без скобок) (См пример).

В конце выполнения задания необходимо дать окончательное заключение о принятом решении (например, «Принимаем двутавр № ___, удовлетворяющий условиям прочности и жёсткости»).