4.3. Вычисление объемов

1. Объем тела по известным поперечным сечениям. Если объем тела существует и есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси в точке x то .

2. Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции где - непрерывная однозначная функция, равен .

В более общем случае объем кольца, образованного вращением вокруг оси фигуры где и -непрерывные неотрицательные функции, равен .

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Разрешим относительно уравнения линий. Решая систему уравнений

,

находим точки пересечения линий . С учетом симметрии получим

Ниже на рис.5 показаны заданные линии и фигура, ограниченная ими.

Рис.5. Геометрическая схема области интегрирования.

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченную лемнискатой

Решение. Для вычисления площади перейдем к полярным координатам

Получим уравнение лемнискаты или Кривая определена при или или Лемниската при приведена на рис. 6.

Отсюда имеем ;

Рис. 6. Изображение лемнискаты.

Задача 8. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси

Решение. Если – функция, задающая площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной

Ниже показано изображение тела, полученное с помощью графических примитивов пакета MATCHAD.

рис. 7. Визуализация поверхности вращения

Глава IV. Функции нескольких переменных.

§1. Понятие функции нескольких переменных.

Переменная величина называется функцией двух переменных , если каждой паре из данной области соответствует единственное определенное значение . Переменные называются аргументами или независимыми переменными. Функциональная зависимость обозначается так: . Областью существования (определения) функции понимается совокупность точек, плоскости , в которых данная определена. Линией уровня функции называется такая линия на плоскости , в точках которой функция принимает одно и то же заданное значение. Поверхностью уровня функции трех аргументов называется такая поверхность , в точках которой функция принимает одно и то же заданное значение.

§2. Предел функции.

Пусть функция определена на множестве Е, имеющем точку сгущения . Говорят, что , если для любого существует , такое что

при и где - расстояние между точками .

2.1. Предел функции для двух переменных.

Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует такое , что при , где расстояние между двумя точками и , имеет место неравенство . В этом случае пишут

Непрерывность. Функция называется непрерывной в точке , если . Функция непрерывна в данной области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Равномерная непрерывность. Функция называется равномерно непрерывной в области G, если для каждого существует зависящее только от , такое что для любых точек и из G имеет место неравенство при . Функция непрерывна в ограниченной и замкнутой области, равномерно непрерывна в этой области.