3.2. Несобственные интегралы

1. Несобственная интегрируемость функции.

Если функция собственно интегрируема на каждом конечном сегменте , то, по определению, полагают .(1)

2. Если функция не ограничена в окрестности точки и собственно интегрируема на каждом сегменте , то принимают . (2)

Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (в широком смысле).

2. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало число такое, что при любых и было бы выполнено неравенство .

Аналогично формируется критерий Коши для интеграла типа (2).

3. Признаки абсолютной сходимости. Если несобственно интегрируема, то соответствующий элементарный интеграл (1) или (2) от функции называется абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо сходящимся.

Признак сравнения I. Пусть при Если сходится, то интеграл сходится абсолютно.

Признак сравнения II. Если и при , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. В частности, это имеет место если при

Признак сравнения III.

а) Пусть при В таком случае интеграл (1) сходится, если и расходится, если

б) пусть при .

В таком случае интеграл (2) сходится, если и расходится, если

Задача 1. С помощью подходящей подстановки вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку . Тогда , Подставляя найденные нижний и верхний пределы интегрирования, получим

Ответ:

Задача 2. Вычислить интеграл

Решение. Положим . Тогда . Отсюда получим

Задача 3. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Задача 4. Вычислить определенный интеграл

Решение. Запишем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла . Интегрируя по частям получим,

.

Вычислим теперь интеграл в правой части, также применяя интегрирование по частям

В результате получим в окончательном виде .

Задача 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Функция не ограничена в любой окрестности точки , поэтому по определению несобственного интеграла, полагаем . Таким образом, интеграл

,

т.е. он сходится.

§4. Геометрические приложения определенного интеграла.

4.1. Вычисление площадей

1. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь плоской фигуры , ограниченной двумя непрерывными кривыми и

и двумя прямыми и равна

x

y

0

C

S

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде. Если -параметрические уравнения кусочно-гладкой простой замкнутой кривой С, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью S, то или .

Площадь в полярных координатах. Площадь S сектора ОАВ, ограниченного непрерывной кривой и двумя полупрямыми и , равна .

4.2. Вычисление длин дуг

1. Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой

равна

2. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая С задана уравнениями где то длина дуги кривой С равна

3. Длина дуги в полярных координатах. Если где , то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна .