Глава III. Интегральное исчисление
§1. Неопределенный интеграл.
1. Понятие неопределенного интеграла.
Если функция
и определена на сегменте
промежутке
и
ее первообразная, т.е.
при
,
то
.
2. Основные свойства.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
Д)
.
3. Таблица простейших интегралов:
I.
.
II.
.
III.
IV.
V.
VI.
.
VII.
.
.
VIII.
IX.
X.
.
XI.
.
XII.
.
XIII.
.
XIV.
.
XV.
.
§2. Основные методы интегрирования.
а) Метод введения
нового аргумента. Если
,
то
,
где
.
б) Метод разложения.
Если
.
в) Метод подстановки.
Если
непрерывна, то, полагая,
,
где
непрерывна со своей производной, получим:
.
г) Метод интегрирования
по частям. Если
и
дифференцируемые функции от
,
тогда
.
Задача
1.
Найти интеграл
.
Решение.
Для удобства введем обозначение
.
Для функции
имеем табличный интеграл
.
Преобразуем подынтегральную функцию
к такому виду, для которого записан
табличный интеграл
.
Поэтому, записывая его при значении
параметра
,
получим ответ
.
Задача
2. Найти
интеграл
.
Решение.
Введем замену переменных
.
Тогда
Задача
3. Найти
интеграл
.
Решение.
Используем замену
.
Тогда
.
Задача
4.
Найти интеграл
.
Решение. Положим и применим интегрирование по частям
,
полагая
.
Тогда получим
и запишем интеграл
.
Если в формуле
интегрирования по частям положить
,
получим
,
.
Вместо подавления степени x
получили повышение показателя степени.
Таким образом, при интегрировании по
частям следует добиваться того, чтобы
интеграл
был бы более простого вида.
Задача
5. Найти
интеграл
.
Решение.
Положим
,
.
Тогда имеем
,
и находим
.
Далее применяя метод подведения под
знак дифференциала, получим
и запишем
.
Задача
6.
Найти интеграл
.
Решение. С учетом того, что знаменатель имеет простые корни, запишем разложение для подынтегральной функции в следующем виде
.
Далее, освобождаясь от знаменателя, получим равенство
В полученное
равенство подставляем значения корней
знаменателя, и приходим к уравнениям
для определения неизвестных коэффициентов
разложения: 1) значение первого простого
корня
,
тогда
или
2) полагаем
,
соответствующим второму корню, тогда
3) примем
,
имеем
Подставляя найденные коэффициенты,
получим
.
Задача
7. Найти
интеграл
.
Решение. Имеем
.
Задача
8.
Найти интеграл
Решение.
.
Задача
9.
Найти интеграл
.
Решение.
Применим универсальную тригонометрическую
подстановку
.
С учетом выражений синуса и косинуса
аргумента x,
получим:
.
Подставляя в интеграл, и применяя замену,
находим
.
.
§3. Определенный и несобственный интегралы.
3.1. Определенный интеграл.
1. Формула Ньютона
–Лейбница. Если
определена и непрерывна на сегменте
и
ее первообразная, то
.
Определенный
интеграл
при
геометрически представляет собой
площадь S,
ограниченную кривой
,
осью Ox
и двумя перпендикулярами к оси Ox:
и
.
2. Формула
интегрирования по частям. Если
,
тогда
.
Замена переменной. Если: 1) непрерывна на сегменте ; 2) непрерывна со своей производной
на
сегменте
,
где
,
;
3) сложная функция
непрерывна на сегменте
,
тогда
.