4.4. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Достаточное условие экстремума. Если функция имеет вторую производную, причем в окрестности некоторой точки , то в этой точке функция имеет экстремум: максимум, когда и минимум, когда .

4.5. Построение графиков функций по характерным точкам.

Для построения графиков функций по характерным точкам нужно: 1) определить область существования функции; исследовать ее поведение в граничных точках; 2) выяснить свойства: четность, нечетность, периодичность; 3) найти точки разрыва и промежутки непрерывности; 4) определить нули функции и области знакопостоянства; 5) определить точки экстремума и выяснить промежутки возрастания и убывания; 6) найти точки перегиба и установить промежутки направления выпуклости графика функции; 7) найти асимптоты в случае их существования; 8) указать те или иные особенности графика.

§5. Применение производной к исследованию функции

1. Построить график функции с применением производной: .

Область определения данной функции – вся числовая ось. Функция знакоположительна. График функции, как легко видеть( с применением правила Лопиталя) , имеет горизонтальную асимптоту . Вычислим производную: . Из выражения для производной находим интервалы монотонности: возрастает на интервале и убывает вне этого интервала. Найдем вторую производную: . Определим корни уравнения

, . Находим точки перегиба: и .

При и график выпуклый вниз, и выпуклый вверх на интервале . С учетом указанных особенностей поведения функции, построим график.

2. Построить график функции с применением производной: .

Область определения данной функции – вся числовая ось за исключением значений . Поэтому прямые представляют вертикальные асимптоты. При этом , .График функции, как легко видеть , имеет горизонтальную асимптоту .

Вычислим производную: .

Из выражения для производной находим интервалы монотонности: возрастает на интервале и убывает вне этого интервала. Найдем вторую производную: . Определим корни уравнения

, . Находим точки перегиба: и .

При и график выпуклый вниз, и выпуклый вверх на интервале . С учетом указанных особенностей поведения функции, строим график.

§6. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Производные высших порядков от функции определяются последовательно соотношениями( в предположении, что соответствующие операции имеют смысл):

Основные формулы:

I. . II. . III. .

IV. . V.

9. Формула Тейлора. Если: 1) функция определена на сегменте ; 2) имеет на этом сегменте непрерывные производные , ; 3) при существует конечная производная , то

,

где остаточный член в форме Лагранжа.

Пример 1. Дана функция . Найти .

Решение: Представим в виде , где

.

Воспользуемся формулой Лейбница для производных -го порядка

где – число сочетаний из n элементов по . Очевидно, . Далее выпишем производные: ; ; .

С учетом этих равенств, искомая производная .

Пример 2. Дана функция . Найти .

Решение. Положим . Далее, производная при . Поэтому = . Находим необходимые производные ; , и запишем выражение для производной требуемого порядка

.

Пример 3. Многочлен разложить по степеням двучлена .

Решение. Положим . Тогда и многочлен принимает вид

.

Используя разложение в ряд Маклорена для последнего многочлена, получим Пример 4. Написать разложение функции по целым неотрицательным степеням x до члена с .

Решение: Положим и запишем разложение . Тогда

Пример 5. Написать разложение функции до члена с .

Решение: .

Имеем

.

Пример 6. Написать разложение функции до члена с .

Решение: Запишем .

Имеем ; ;

; ;

=

;

Таким образом, .

Пример 7. С помощью формулы Тейлора приближено вычислить .

Решение: Воспользуемся стандартным разложением (биноминальным):

Предварительно запишем . Далее зададим значения

. Примем и приведем разложение

,

.

Подставляя теперь значение , находим

или .

Пример 6. . С помощью формулы Тейлора приближено вычислить .

Решение: Имеем . Полагаем теперь тогда