2.3. Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим теперь степенно-показательную функцию вида . Для нахождения производной такой функции применяется логарифмическая производная. Логарифмируя исходную зависимость, получим: . Дифференцируя последнее равенство и, принимая во внимание правило дифференцирования сложной функции, запишем: и находим искомую производную в виде . При вычислении производной нужно найти производные функций и , затем воспользоваться приведенной формулой.

Пример 7. Найти производную функции .

Решение. Предварительно напомним, что, по определению гиперболических функций, (синус гиперболический), (косинус гиперболический), (тангенс гиперболический), ( тангенс гиперболический). Логарифмируя исходную зависимость, получим . Дифференцируя последнее равенство и, принимая во внимание правило дифференцирования сложной функции, запишем: . Отсюда получим

§3. Производные функций, заданных по специальному типу.

1. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция также дифференцируема, тогда справедлива формула .

2. Производная при параметрическом задании функции. Пусть . Тогда .

3. Производная неявно заданной функции. Если дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению то производная

находится из уравнения где рассматривается как сложная функция переменной .

Пример 8. Найти производную функцию, заданной неявно Решение: Для данной функции уравнение имеет вид

Дифференцируем его по x, получим: или , или Отсюда находим или . Принимая во внимание уравнение , получим .

Пример 9. Найти производную функции, заданной неявно .

Решение. Продифференцируем уравнение по или Отсюда получим производную

§4. Приложения производной.

4.1. Геометрические.

1. Уравнение касате6льной и нормали. Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику дифференцируемой функции в точке его соответственно имеют вид:

1. Написать уравнение касательной и нормали или полукасательной к кривой в заданной точке: , а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную . Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как б) Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как

Ниже представлена кривая и касательная в точке .

2. Написать уравнение касательной и нормали или полукасательной к кривой в заданной точке: , а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную . Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как б) Имеем: , Поэтому уравнение касательной в точке запишется как . Ниже представлена кривая и касательная в точке .

4.2. Возрастание и убывание функции.

Достаточный признак возрастания(убывания) функции. Если функция непрерывна на сегменте и внутри него имеет положительную (отрицательную) производную, то функция возрастает(убывает) на

.

4.3. Направление вогнутости. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз(вверх), если отрезок кривой расположен выше(ниже) касательной, проведенной в любой точке этого отрезка.

Достаточное условие выпуклости вниз(вверх): в предположении существования второй производной выполнено неравенство ( ) при .

Точки перегиба. Точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. Точка, в которой либо не существует, причем имеет смысл, либо , есть точка перегиба, если меняет знак при переходе через эту точку.