Глава II. Производная.

§1. Понятие производной. Табличные производные.

1. Определение производной. Выражение

,

если оно имеет смысл, носит название производной, а сама функция называется дифференцируемой.

Геометрически число представляет собой угловой коэффициент к графику функции в точке ( .

2. Основные правила дифференцирования.

Если С– постоянная, функции дифференцируемы, то

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

3. Основные формулы.

I. . II. . III. .

IV. . V. VI. .

VII. . VIII. . IX.

X. . XI. . XII. . XIII. . XIV. . XV. .

3.1. Производные функций, заданных по специальному типу.

1. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция также дифференцируема, тогда справедлива формула .

2. Производная при параметрическом задании функции. Пусть . Тогда .

3. Производная неявно заданной функции. Если дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению то производная

находится из уравнения где рассматривается как сложная функция переменной .

§2. Правила дифференцирования.

2.1.Производная сложной функции.

Предположим, что задана сложная функция вида . Тогда ее производная находится по формуле .

Первый сомножитель означает, что функция f рассматривается от сложного аргумента и дифференцирование ведется по этому аргументу. Далее в найденную производную подставляется выражение сложного аргумента как функции аргумента x. Поэтому при нахождении производной от этого типа функций при наличии сложных зависимостей нужно сначала ввести сложный аргумент, после чего найти раздельно производные по переменным. Рассмотрим некоторые примеры на данное правило.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Введем сложный аргумент . Тогда . Затем найдем раздельно производные по переменным: . Теперь запишем формулу для производной сложной функции и подставим найденные производные .

Следует отметить, что, в свою очередь, сложный аргумент сам может быть представлен в виде композиции. Тогда имеет место повторное применение правила нахождения производной от суперпозиции функций. Перейдем к рассмотрению таких случаев.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Введем сложный аргумент . Тогда . Затем найдем раздельно производные по переменным: . Теперь запишем формулу для производной сложной функции и подставим найденные производные . Этот же пример можно решить по-другому.

Для этого следует принять следующую композицию функций: Результат получится тот же.

Пример 3. Найти производную функции .

Введем сложный аргумент . Тогда . Затем найдем раздельно производные по переменным: . Теперь запишем формулу для производной сложной функции и подставим найденные производные . Заметим, что переходя к аргументу x, можно упростить выражение для показательной функции за счет понижения степени тригонометрической зависимости.

2.2. Производные от частного и произведения функций

Приведем правила нахождения производной для рассматриваемых операций: ; . Представим некоторые примеры на данные правила.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Имеем: . Здесь достаточно простой вид сомножителей предоставляет возможность непосредственной подстановки в соответствующую формулу выражений производных.

В некоторых случаях сомножители могут представлять достаточно сложную зависимость от аргумента. Например, один из сомножителей является сложной функцией. Тогда следует предварительно найти производные от каждой функции и подставить затем их выражения в формулу для производной от произведения. Такой же подход используется и для производной от отношения двух функций, когда они задаются достаточно сложными выражениями.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Поскольку один из сомножителей является сложной функцией,

предварительно найдем производные от каждой функции и подставим затем их выражения в формулу для производной от произведения. Имеем: Подставляя найденные выражения в формулу производной от частного функций, получим .

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Имеем: . Здесь достаточно простой вид сомножителей предоставляет возможность непосредственной подстановки в соответствующую формулу выражений производных, тем не менее, окончательное выражение для производной получается после выполнения преобразований. Имеем:

.