Введение.

Современная концепция высшего экономического образования ориентирована на тенденцию дальнейшего расширения применения математических методов в различные отрасли экономических дисциплин.

Несмотря на то, что имеется ряд признанных сборников задач по высшей математике для экономических специальностей, в настоящее время возникает потребность в разработке и составлении практикумов по отдельным разделам высшей математики, имеющим расширенное практическое применение, как для решения экономических задач, так и различных научно-технических задач. Это обусловлено тем, что математика представляет универсальный язык для описания законов, отражающих окружающий нас многообразный мир. Цикл математических дисциплин и практически весь аппарат прикладной математики широко используется в современной экономике. В качестве примера можно указать эконометрику.

При составлении настоящего практикума основное внимание уделено тому, чтобы при работе с ним закреплялись навыки по применению математического аппарата. Поэтому для рассмотренных в практикуме разделах математики приводятся необходимые понятия и разобраны решения примеров с привлечением разнообразного математического инструмента. Следует отметить также, что приведенные примеры существенно различаются от предлагаемых в наиболее используемых сборниках задач по высшей математике для экономических специальностей.

Учебный материал, включенный в настоящий практикум, соответствует образовательному стандарту по высшей математике для бакалавриата по экономическому направлению. Он охватывает введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление для функции одной переменной, функции нескольких переменных, числовые и степенные ряды.

Также рассмотрены « Элементы оптимального управления» состоящие из разделов по нелинейному программированию.

Глава I. Введение в анализ

§1. Множества на числовой прямой и плоскости.

Задача 1. Определить множества значений x, удовлетворяющих следующим условиям: 1.1 ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. .

1.1 . Решение. Данное множество представляет открытый интервал .

1.2. . Решение. Данное множество представляет замкнутый сегмент .

1.3. . Решение. Данное множество представляет совокупность точек числовой оси без открытого интервала :

1.4. . Решение. Данное множество представляет замкнутый сегмент .

Задача 2. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношениям:

2.1. . 2.2.

2.3. . 2.4. .

2.1. .

Решение. Данное множество точек представляет совокупность точек области на плоскости, ограниченную: сверху – контуром параболы , снизу –контуром параболы , при этом граничные точки также входят во множество. Геометрическая схема показана на рис.1.

2.2.

Решение. Данное множество точек представляет совокупность точек области на плоскости, ограниченную: сверху – отрезком прямой , снизу –контуром параболы , при этом граничные точки также входят во множество. Геометрическая схема показана на рис.2.

Рис.1 . Рис.2

2.3. .

Решение. Пусть точка принадлежит данному множеству. Тогда точки и также входят в это множество. Поэтому данная область симметрична относительно осей координат. Рассмотрим подмножество точек, находящихся в первом координатном угле. Получим для него неравенства или . Теперь становится ясным, что в данное множество входят точки, расположенные ниже параболы . С учетом наличия симметрии относительно координатных осей, получим геометрическую схему, показанную на рис. 3.

2.4. .

Решение. Пусть точка принадлежит данному множеству. Тогда точки и также входят в это множество. Поэтому данная область симметрична относительно осей координат. Рассмотрим подмножество точек, находящихся в первом координатном угле. Получим

для него неравенства или . Теперь становится ясным, что в данное множество входят точки, расположенные ниже дуги окружности . С учетом наличия симметрии относительно координатных осей, получим геометрическую схему, показанную на рис.4.

Рис. 3. Рис.4.